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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:28 So 11.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen Meßbar sind:
(i) Die charakteristische Funktion auf [mm] \mathbb Q [/mm] , d.h. die
Abbildung [mm] \chi_{\mathbb Q } : \mathbb R \to \mathbb R [/mm] mit
[mm] \chi_{\mathbb Q} (x) = \left\{\begin{matrix} 1, & \ falls \ x \in \mathbb Q \\
0, & \ falls \ x \notin \mathbb Q \end{matrix}\right. [/mm]
(ii) Die Funktion [mm] f : \mathbb R \to \mathbb R [/mm] , die gegeben ist durch
[mm] f(x) = \left\{\begin{matrix} \cos(x), \ & \ falls \ x \in \mathbb Q \\
33, \ & \ falls \ x \notin \mathbb Q \end{matrix}\right.
[/mm]
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Hallo alle zusammen!
Ich habe einige Fragen zu dieser Aufgabe und hoffe einer kann mir hilfreich zur Seite stehen!
So, bei (i) weiß ich ja bereits, dass [mm] \chi_{\mathbb Q} [/mm] messbar ist [mm] \gdw \mathbb Q \in \mathcal B ( \mathbb R ) [/mm]. Da dies stimmt, ist somit auch gezeigt, dass die Funktion aus (i) messbar ist.
Sehe ich das so richtig? Oder fehlt etwas entscheidendes? Das scheint mir so wenig und macht mich unsicher!
Bei der Teilaufgabe (ii) weiß ich leider nicht genau, wie ich dies zeigen kann :-(. Das was mir so einfällt ist, dass man das irgendwie über stückweise messbare Funktionen zeigen sollte... Aber dazu haben wir in der Vorlesung noch nichts gemacht :-(.
Wäre für jede Hilfe dankbar!
Viele Grüße
Irmchen
Hallo nochmal!
Ich habe mich jetzt ein wenig in anderen Quellen ( Literatur ) informiert und denke, dass meine Vermutung für die Teilaufgabe (ii) die Richtige war...
Ich habe jetzt nochmal alleine versucht diese Teilaufgabe zu lösen und würde mih freuen, wenn mir jemand ein Komentar dazu schreiben würde ob meine Lösungen für diese beiden Teilaufgabe o.k sind.
So, jetzt zur Teilaufgabe (ii):
Die Borelmengen [mm] X_1 := \mathbb Q [/mm] und [mm] X_2 := \mathbb R \backslash \mathbb Q [/mm] überdecken [mm] \mathbb R [/mm], also [mm] \mathbb R = X_1 \cup X_2 [/mm].
Nach der Theorie über stückweise meßbare FUnktionen ist f meßbar, wenn [mm] f \mid_{X_k} : ( X_k , \mathcal B ( \mathbb R ) \mid_{X_k} ) \to ( \mathbb R , \mathcal B (\mathbb R ) ) [/mm] meßbar ist für [mm] k = 1 , 2 [/mm].
Dies ist hier der Fall: Es ist nämlich [mm] \mathcal B (\mathbb R )\mid_{X_k} = \mathcal B ( X_k ) [/mm]. Da [mm] f \mid_{X_1} = \cos_{X_1} und f\mid_{X_2} = 33\mid_{X_2} [/mm] stetig sind, sind sie auch messbar und somit dann auch f messbar.
Liege ich jetzt hiermit richtig?
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Mo 19.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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