meßbare Funktionen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:22 Fr 07.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | 1.) Wie ist eine lebesgue-meßbare Funktion definiert?
2.) Wie ist eine Borel-meßbare Menge definiert? |
Es geht darum, dass ich keine vernünftigen Definitionen für 1 und für 2 finde.
Allgemein gilt ja:
Seien [mm] (\Omega_1,S_1) [/mm] und [mm] (\Omega_2,S_2) [/mm] messbare Räume. Eine Funktion [mm] f:\Omega_1\to \Omega_2 [/mm] heißt ja dann [mm] S_1-S_2 [/mm] meßbar, wenn gilt:
[mm] f^{-1}(A)\in S_1 [/mm] für alle [mm] A\in S_2
[/mm]
Nun frage ich mich halt, wie 1.) und 2.) definiert sind.
Ich weiß (denke ich) ein bisschen was zu 2.)
Borel-meßbar ist eine Funktion, wenn sie B-B-meßbar ist.
[Was mich verwirrt ist folgende Aussage: Ist [mm] (\Omega_2,S_2)=(\IR, B(\IR)), [/mm] spricht man von Borel-meßbaren Funktionen. Denn das deckt sich doch nicht damit, dass B-B-Messbarkeit vorliegt, das scheinen mir verschiedene Sachen zu sein, aber beides Mal spricht man von Borel-meßbaren Funktionen. Das versteh ich nicht.]
Zu 1.) habe ich gar keine Ahnung.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Fr 07.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich denke, ich habe meine Frage selbst beantwortet; ist Folgendes korrekt?
1.) Ganz allgemein:
[mm] (X,\mathcal{M}) [/mm] und [mm] (Y,\mathcal{N}) [/mm] seien zwei messbare Räume. Eine Abbildung [mm] f:X\to Y [/mm] nennt man dann [mm] \mathcal{M}-\mathcal{N} [/mm]-meßbar, wenn gilt: [mm] f^{-1}(E)\in \mathcal{M} [/mm] für alle [mm] E\in \mathcal{N}.
[/mm]
2.) [mm] \mathcal{M} [/mm]- meßbar:
Sei [mm] f:X\to \IK [/mm], wobei [mm] (X,\mathcal{M}) [/mm] messbarer Raum und [mm] \IK=\IR [/mm] oder [mm] \IC. [/mm] Dann heißt f [mm] \mathcal{M} [/mm]- meßbar, wenn f [mm] \mathcal{M}-\mathcal{B}(\IR) [/mm]-meßbar oder [mm] \mathcal{M}-\mathcal{B}(\IC) [/mm]- meßbar ist.
INSBESONDERE
3.) Lebesgue-meßbar:
[mm] f:\IR^n\to \IC [/mm] heißt Lebesgue-meßbar, wenn f [mm] \mathcal{L}-\mathcal{B}(\IC) [/mm]- meßbar ist.
4.) Borel-meßbar:
[mm] f:\IR^n\to \IC [/mm] heißt Borel-meßbar, wenn f [mm] \mathcal{B}-\mathcal{B}(\IC) [/mm]- meßbar ist. |
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Sa 08.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich denke, ich habe meine Frage selbst beantwortet; ist
> Folgendes korrekt?
>
> 1.) Ganz allgemein:
> [mm](X,\mathcal{M})[/mm] und [mm](Y,\mathcal{N})[/mm] seien zwei messbare
> Räume. Eine Abbildung [mm]f:X\to Y[/mm] nennt man dann
> [mm]\mathcal{M}-\mathcal{N} [/mm]-meßbar, wenn gilt: [mm]f^{-1}(E)\in \mathcal{M}[/mm]
> für alle [mm]E\in \mathcal{N}.[/mm]
>
> 2.) [mm]\mathcal{M} [/mm]- meßbar:
> Sei [mm]f:X\to \IK [/mm], wobei [mm](X,\mathcal{M})[/mm] messbarer Raum und
> [mm]\IK=\IR[/mm] oder [mm]\IC.[/mm] Dann heißt f [mm]\mathcal{M} [/mm]- meßbar, wenn
> f [mm]\mathcal{M}-\mathcal{B}(\IR) [/mm]-meßbar oder
> [mm]\mathcal{M}-\mathcal{B}(\IC) [/mm]- meßbar ist.
>
> INSBESONDERE
> 3.) Lebesgue-meßbar:
> [mm]f:\IR^n\to \IC[/mm] heißt Lebesgue-meßbar, wenn f
> [mm]\mathcal{L}-\mathcal{B}(\IC) [/mm]- meßbar ist.
>
> 4.) Borel-meßbar:
> [mm]f:\IR^n\to \IC[/mm] heißt Borel-meßbar, wenn f
> [mm]\mathcal{B}-\mathcal{B}(\IC) [/mm]- meßbar ist.
> Stimmt das?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 So 09.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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