metrik1 stärker als metrik2 < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Do 19.04.2007 | | Autor: | spektrum |
| Aufgabe | | Die Metrik [mm] d_{1} [/mm] ist genau stärker als die Metirk [mm] d_{2}, [/mm] wenn für jedes x [mm] \in [/mm] E der folgende Tatbestand vorliegt: Jede offene [mm] d_{2}-Kugel [/mm] um x enthält eine offen [mm] d_{1}-Kugel [/mm] um x. |
halli hallo!
bei dieser aufgabe bedeutet
[mm] d_{1} [/mm] ist genau stärker als [mm] d_{2}, [/mm] wenn aus [mm] d_{1}(x_{n},x) \to [/mm] 0 stets [mm] d_{2}(x_{n},x) \to [/mm] 0.
E ist ein metrischer Raum.
ich habe probiert dies folgendermaßen zu lösen:
[mm] \Leftarrow: [/mm] wenn die [mm] d_{2}-Kugel [/mm] die [mm] d_{2}-Kugel [/mm] enthält folgt, dass wenn [mm] d_{1}(x_{n},x) \to [/mm] 0, auch [mm] d_{2}(x_{n},x) \to [/mm] 0 gelten muss, da ja [mm] x_{n} [/mm] und x in beiden Kugeln enthalten sind.
fertig.
[mm] \Rightarrow: [/mm] gilt nun [mm] d_{1}(x_{n},x) \to [/mm] 0 [mm] \Rightarrow d_{2}(x_{n},x) \to [/mm] 0, dann heißt das, dass [mm] d_{1}(x_{n},x) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und damit auch [mm] d_{2}(x_{n},x) [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
und das sind ja gerade 2 offene Kugeln.
und wenn [mm] d_{1}(x_{n},x) [/mm] < [mm] \varepsilon \Rightarrow d_{2}(x_{n},x) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] gilt, dann muss ja die [mm] d_{1}-Kugel [/mm] in der [mm] d_{2}-Kugel [/mm] enthalten sein. die [mm] d_{2}-Kugel [/mm] ist zumindest gleich "groß" wie die [mm] d_{1}-Kugel.
[/mm]
nun ja, die Linksrichtung leuchtet mir ja ein. aber bei der Rechtsrichtung kommt mir alles etwas schwammig vor. irgendwie ist da kein richtiges argument dabei.
ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir vielleicht einen tipp geben könntet, bzw. mir sagen, ob das denn so stimmt oder ganz falsch ist.
Vielen Dank schon mal im Voraus!
lg spektrum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Do 19.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Metrik [mm]d_{1}[/mm] ist genau stärker als die Metirk [mm]d_{2},[/mm]
> wenn für jedes x [mm]\in[/mm] E der folgende Tatbestand vorliegt:
> Jede offene [mm]d_{2}-Kugel[/mm] um x enthält eine offen [mm]d_{1}-Kugel[/mm]
> um x.
> halli hallo!
>
> bei dieser aufgabe bedeutet
> [mm]d_{1}[/mm] ist genau stärker als [mm]d_{2},[/mm] wenn aus
> [mm]d_{1}(x_{n},x) \to[/mm] 0 stets [mm]d_{2}(x_{n},x) \to[/mm] 0.
>
> E ist ein metrischer Raum.
>
> ich habe probiert dies folgendermaßen zu lösen:
>
> [mm]\Leftarrow:[/mm] wenn die [mm]d_{2}-Kugel[/mm] die [mm]d_{2}-Kugel[/mm] enthält
Das zweite [mm] $d_2$ [/mm] soll ein [mm] $d_1$ [/mm] sein, nicht?
> folgt, dass wenn [mm]d_{1}(x_{n},x) \to[/mm] 0, auch [mm]d_{2}(x_{n},x) \to[/mm]
> 0 gelten muss, da ja [mm]x_{n}[/mm] und x in beiden Kugeln enthalten
> sind.
> fertig.
Genau.
> [mm]\Rightarrow:[/mm] gilt nun [mm]d_{1}(x_{n},x) \to[/mm] 0 [mm]\Rightarrow d_{2}(x_{n},x) \to[/mm]
> 0, dann heißt das, dass [mm]d_{1}(x_{n},x)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] und
> damit auch [mm]d_{2}(x_{n},x)[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
> und das sind ja gerade 2 offene Kugeln.
> und wenn [mm]d_{1}(x_{n},x)[/mm] < [mm]\varepsilon \Rightarrow d_{2}(x_{n},x)[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm] gilt, dann muss ja die [mm]d_{1}-Kugel[/mm] in der
> [mm]d_{2}-Kugel[/mm] enthalten sein. die [mm]d_{2}-Kugel[/mm] ist zumindest
> gleich "groß" wie die [mm]d_{1}-Kugel.[/mm]
So kannst du nicht argumentieren.
Mach es doch wie folgt per Kontraposition:
Nimm dir eine [mm] $d_2$-Kugel [/mm] $U = [mm] \{ x \in E \mid d_2(x, x_0) < \varepsilon \}$. [/mm] Angenommen, fuer jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt es ein $x [mm] \in [/mm] E [mm] \setminus [/mm] U$ mit [mm] $d_1(x, x_0) [/mm] < [mm] \delta$, [/mm] also dass $U$ keine [mm] $d_1$-Kugel [/mm] enthaelt.
Also zu [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] kannst du ein [mm] $x_n \in [/mm] E [mm] \setminus [/mm] U$ mit [mm] $d_1(x_n, x_0) [/mm] < [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] waehlen. Betrachte nun die Folge [mm] $(x_n)_{n\in\N}$; [/mm] bzgl. [mm] $d_2$ [/mm] kann sie nicht gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergieren, bzgl. [mm] $d_1$ [/mm] konvergiert sie jedoch gegen [mm] $x_0$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:37 Di 24.04.2007 | | Autor: | spektrum |
hallo felix!
zuerst mal vielen dank für deine antwort!
ich hab mir jetzt ein paar gedanken darüber gemacht, prinzipiell verstehe ich deine argumente der kontraposition.
das einzige, das ich nicht ganz verstehe:
> Also zu [mm]\frac{1}{n}[/mm] kannst du ein [mm]x_n \in E \setminus U[/mm] mit
> [mm]d_1(x_n, x_0) < \frac{1}{n}[/mm] waehlen. Betrachte nun die
> Folge [mm](x_n)_{n\in\N}[/mm]; bzgl. [mm]d_2[/mm] kann sie nicht gegen [mm]x_0[/mm]
> konvergieren, bzgl. [mm]d_1[/mm] konvergiert sie jedoch gegen [mm]x_0[/mm].
warum nimmst du hier gerade 1/n?
ich sehe schon, dass es dann konvergiert, also kleiner ein [mm] \delta [/mm] ist. aber wieso warum gerad 1/n???
irgendwie blicke ich da nicht ganz durch!
danke schon mal! ich hoffe du kannst mir noch einmal helfen!
lg spektrum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Di 24.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Spektrum!
> ich hab mir jetzt ein paar gedanken darüber gemacht,
> prinzipiell verstehe ich deine argumente der
> kontraposition.
>
> das einzige, das ich nicht ganz verstehe:
>
> > Also zu [mm]\frac{1}{n}[/mm] kannst du ein [mm]x_n \in E \setminus U[/mm] mit
> > [mm]d_1(x_n, x_0) < \frac{1}{n}[/mm] waehlen. Betrachte nun die
> > Folge [mm](x_n)_{n\in\N}[/mm]; bzgl. [mm]d_2[/mm] kann sie nicht gegen [mm]x_0[/mm]
> > konvergieren, bzgl. [mm]d_1[/mm] konvergiert sie jedoch gegen [mm]x_0[/mm].
>
>
> warum nimmst du hier gerade 1/n?
> ich sehe schon, dass es dann konvergiert, also kleiner ein
> [mm]\delta[/mm] ist. aber wieso warum gerad 1/n???
Du kannst auch irgendeine andere Folge nehmen, die gegen 0 konvergiert (und immer echt groesser als 0 ist). Das einfachste Beispiel fuer sowas ist halt $1/n$, deswegen hab ich das genommen :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Di 24.04.2007 | | Autor: | spektrum |
hallo felix!
danke für deine antwort!
jetzt hab ich aber noch eine kleine frage.
bzgl. [mm] d_{2} [/mm] kanns nicht konvergieren, weil [mm] x_{n} [/mm] gar nicht enthalten ist in U. hab ich das so richtig verstanden?
danke!
lg spektrum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Di 24.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Spektrum,
> jetzt hab ich aber noch eine kleine frage.
> bzgl. [mm]d_{2}[/mm] kanns nicht konvergieren, weil [mm]x_{n}[/mm] gar nicht
> enthalten ist in U. hab ich das so richtig verstanden?
genau: $U$ ist eine [mm] $d_2$-Umgebung [/mm] von $x$, und wenn [mm] $x_n$ [/mm] bzgl. [mm] $d_2$ [/mm] gegen $x$ konvergieren wuerde, dann muessten fast alle Folgenglieder in $U$ liegen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Di 24.04.2007 | | Autor: | spektrum |
hallo felix!
jetzt ist alles klar! vielen, vielen dank!
lg spektrum
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