metrik/topologie konkret < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Di 16.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein met. Raum, sei [mm] d'(x,y):=\bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)}.
[/mm]
Beh.:
a) (X,d') ist eine durch 1 beschränkte Metrik
b) d' erzeugt dieselbe Topologie wie d
c) d und d' sind i.A. nicht äquivalent. |
Moin!
Habe mir das angeschaut und auch teilweise geschafft.
zu a) ich stolpere hier dummerweise über die Dreiecksungleichung. Hat da jemand einen Tipp? Wenn mit "durch 1 beschränkt" gemeint ist d(x,y)<1 f.a. x,y kann ich auch das 
zu b) Keine Ahnung, dafür habe ich zuviel in den letzten Wochen verpasst und die Sache Topologien noch nicht genug aufarbeiten können.
zu c) Könnte ich nicht die normale betragsmetrik als gegenbeispiel nehmen? Wenn ich die Definition zur Äquivalenz zweier Metriken (es ex. [mm] c_1\le c_2 [/mm] größer 0 mit [mm] c_1*d'(x,y)\le [/mm] d(x,y) und [mm] d(x,y)\le c_2*d'(x,y) f.a.x,y\in [/mm] X) auf diesen Fall übertrage und umforme, erhalte ich nämlich [mm] c_1\le [/mm] 1+d(x,y) [mm] \le c_2. [/mm] Allerdings wüsste ich nicht, wie ich formal beweise, dass ich kein solches [mm] c_2 [/mm] finden kann
wäre wie immer für jede hilfe dankbar,
San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Di 16.05.2006 | | Autor: | felixf |
Moin San!
> Sei (X,d) ein met. Raum, sei
> [mm]d'(x,y):=\bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)}.[/mm]
> Beh.:
> a) (X,d') ist eine durch 1 beschränkte Metrik
> b) d' erzeugt dieselbe Topologie wie d
> c) d und d' sind i.A. nicht äquivalent.
> Moin!
> Habe mir das angeschaut und auch teilweise geschafft.
> zu a) ich stolpere hier dummerweise über die
> Dreiecksungleichung. Hat da jemand einen Tipp?
Dazu hatten wir hier schonmal ne ausfuehrliche Diskussion. Das muss man wirklich stumpf nachrechnen mittels der normalen Dreiecksungleichung. Ersetze am Besten $X := d(a, b)$, $Y := d(b, c)$ und $Z := d(a, c)$, schreib das ganze als Ausdruck in $X, Y, Z$, und forme das um (Vorsicht, das sind riesige Ausdruecke, aber es ist nicht schwer sondern nur muehsam; erstmal alles auf einen Hauptnenner bringen...). Und benutze, dass $Z [mm] \le [/mm] X + Y$ ist und $Z, X, Y [mm] \ge [/mm] 0$ sind.
> Wenn mit
> "durch 1 beschränkt" gemeint ist d(x,y)<1 f.a. x,y kann ich
> auch das
Eigentlich ist [mm] $\le [/mm] 1$ gemeint, aber $< 1$ geht auch
> zu b) Keine Ahnung, dafür habe ich zuviel in den letzten
> Wochen verpasst und die Sache Topologien noch nicht genug
> aufarbeiten können.
Zwei Metriken erzeugen genau dann die gleichen Topologien, wenn sie die gleichen konvergenten Folgen haben. Benutze das mit der normalen Definition von Konvergenz, dann ist es ganz einfach; du musst halt nur [mm] $\varepsilon$ [/mm] durch [mm] $\frac{\varepsilon}{1 + \varepsilon}$ [/mm] ersetzen oder umgekehrt...
> zu c) Könnte ich nicht die normale betragsmetrik als
> gegenbeispiel nehmen?
Ja. Oder eine beliebige andere, die nicht beschraenkt ist.
> Wenn ich die Definition zur
> Äquivalenz zweier Metriken (es ex. [mm]c_1\le c_2[/mm] größer 0 mit
> [mm]c_1*d'(x,y)\le[/mm] d(x,y) und [mm]d(x,y)\le c_2*d'(x,y) f.a.x,y\in[/mm]
> X)
Benutz hier doch einfach mal, dass $d'$ beschraenkt ist. Dann bekommst du sofort einfache Gegenbeispiele fuer die eine Ungleichung!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Di 16.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank schon einmal zu den Antworten (inkl. der zum Banachraum), allerdings schwirrt mir heute abend der Kopf und ich werde mir das frühstens Morgen richtig anschauen können:
Was mir allerdings schon nach dem Überlfliegen Kopfzerbrechen bereitet:
1: Die Dreiecksungleichung habe ich genauso versucht, wie du es beschrieben hast, aber es kam halt nur Murks raus. Ich sehe einfach nicht, wie ich herausbekommen sollte: [mm] \bruch{d(x,y)+d(y,z)+2d(x,y)d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)+d(x,y,)d(y,z)}\ge\bruch{d(x,z)}{1+d(x,z)}... [/mm] Immerhin darf ich ja den Nenner nicht einfach unter den Tisch fallen lassen... Oder habe ich mich verrechnet?
2.: Genau die Sache mit dem 1=d'(x,y) war mein Problem mit der Beschränkung, das gibt nämlich meines Erachtens wenig Sinn
3.: Zur Topologie... Wäre wirklich zu schön, wenn wir das, was du geschrieben hast, benutzen könnten, aber soweit ich ins Skript geschaut habe, hat mein Prof diese Äquivalenz nicht bewiesen, heißt, die ist für mich tabu...
So, das wärs erst einmal von mir,
Vielen Dank noch mal,
Schönen Abend noch,
San
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mi 17.05.2006 | | Autor: | felixf |
Moin San!
> Was mir allerdings schon nach dem Überlfliegen
> Kopfzerbrechen bereitet:
> 1: Die Dreiecksungleichung habe ich genauso versucht, wie
> du es beschrieben hast, aber es kam halt nur Murks raus.
> Ich sehe einfach nicht, wie ich herausbekommen sollte:
> [mm]\bruch{d(x,y)+d(y,z)+2d(x,y)d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)+d(x,y,)d(y,z)}\ge\bruch{d(x,z)}{1+d(x,z)}...[/mm]
> Immerhin darf ich ja den Nenner nicht einfach unter den
> Tisch fallen lassen... Oder habe ich mich verrechnet?
Multiplizier die Gleichung so dass kein Bruch mehr uebrig bleibt. Und definiere $A := d(x ,y)$, $B := d(y, z)$ und $C := d(x, z)$ oder so und rechne damit, dann wird das ganze etwas uebersichtlicher!
Und wenn du nur noch einen polynomiellen Ausdruck (sozusagen) da stehen hast musst du einfach rumrechnen und verkuerzen. Und dann zum Schluss schauen wie du das geschickt mit der alten Dreiecksungleichung $C [mm] \le [/mm] A + B$ abschaetzen kann (evtl. musst du auch noch irgendwas [mm] $\ge [/mm] 0$ weglassen).
> 3.: Zur Topologie... Wäre wirklich zu schön, wenn wir das,
> was du geschrieben hast, benutzen könnten, aber soweit ich
> ins Skript geschaut habe, hat mein Prof diese Äquivalenz
> nicht bewiesen, heißt, die ist für mich tabu...
Dann mach es `ganz elementar' mit [mm] $\varepsilon$-Baellen. [/mm] Wenn $O [mm] \subseteq [/mm] X$ eine bezueglich $d$ offene Menge ist und $x [mm] \in [/mm] O$, dann gibt es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ mit [mm] $B_\varepsilon^d(x) \subseteq [/mm] O$. Und jetzt gilt ja $d(x, y) < [mm] \varepsilon \Leftrightarrow [/mm] d'(x, y) < [mm] \frac{\varepsilon}{1 + \varepsilon}$. [/mm] Also gilt [mm] $B_{\frac{\varepsilon}{1 + \varepsilon}}^{d'}(0) \subseteq [/mm] O$, womit $O$ auch offen bzgl. $d'$ ist.
Fuer die Rueckrichtung musst du etwas tricksen, indem du evtl. das [mm] $\varepsilon$ [/mm] einfach verkleinerst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Do 18.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
Moin.
> Wenn [mm]O \subseteq X[/mm] eine bezueglich [mm]d[/mm] offene Menge ist und [mm]x \in O[/mm],
> dann gibt es ein [mm]\varepsilon > 0[/mm] mit [mm]B_\varepsilon^d(x) \subseteq O[/mm].
> Und jetzt gilt ja [mm]d(x, y) < \varepsilon \Leftrightarrow d'(x, y) < \frac{\varepsilon}{1 + \varepsilon}[/mm].
> Also gilt [mm]B_{\frac{\varepsilon}{1 + \varepsilon}}^{d'}(0) \subseteq O[/mm],
> womit [mm]O[/mm] auch offen bzgl. [mm]d'[/mm] ist.
Vom Prinzip her ist das alles wunderbar klar, nur eines nicht: Warum ist der [mm] \frac{\varepsilon}{1 + \varepsilon}-Ball [/mm] um die Null? müsste das nicht eigenltih auch wieder x sein???
Schönen Abend noch,
san
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Do 18.05.2006 | | Autor: | felixf |
Moin San!
> > Wenn [mm]O \subseteq X[/mm] eine bezueglich [mm]d[/mm] offene Menge ist und [mm]x \in O[/mm],
> > dann gibt es ein [mm]\varepsilon > 0[/mm] mit [mm]B_\varepsilon^d(x) \subseteq O[/mm].
> > Und jetzt gilt ja [mm]d(x, y) < \varepsilon \Leftrightarrow d'(x, y) < \frac{\varepsilon}{1 + \varepsilon}[/mm].
> > Also gilt [mm]B_{\frac{\varepsilon}{1 + \varepsilon}}^{d'}(0) \subseteq O[/mm],
> > womit [mm]O[/mm] auch offen bzgl. [mm]d'[/mm] ist.
> Vom Prinzip her ist das alles wunderbar klar, nur eines
> nicht: Warum ist der [mm]\frac{\varepsilon}{1 + \varepsilon}-Ball[/mm]
> um die Null? müsste das nicht eigenltih auch wieder x
> sein???
Oeh, ja, das sollte ein $x$ sein  Ich arbeite zur Zeit viel mit Baellen die ohne Einschraenkung 0 als Mittelpunkt haben, da gewoehnt man sich das dann irgendwann an da sozusagen automatisch ne 0 hinzuschreiben... Sorry :)
> Schönen Abend noch,
Dir auch!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Do 18.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
danke,danke,danke...
Sehr aufbauend, das. Hab doch tatsächlich mal nen Fehler entdeckt und keinen produziert ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") ...
Noch eine Frage, nicht ganz so dringend: funktioniert der rückweg nicht einfach mit [mm] \bruch{\epsilon}{1-\epsilon}?
[/mm]
Oder mache ich es mir da einfacher, als es ist?
Gruß, die (zumindest teilweise erleuchtete) san
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Do 18.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
Ja, klar, ich blindes Huhn!
Vielen Dank!
Ich glaube, ich sollte mal eine Liste aufstellen, wie oft du mir schon nen Schubs in die richtige Richtung gegeben oder mir - bei zu hartnäckigem Brett vorm Kopf - die Lösung um die Ohren geschlagen hast ... wirklich erstaunlich!
Vielen Dank (ups wiederhole mich)... sollte es mal eine Wahrl zum Lieblingsbeantworter-der- Fragen-im-Matheraum geben, weiß ich auf jeden Fall schon mal, wen ich wählen würde...
Schönen Abend dir noch (stelle das Honig um den Bartschmieren hiermit dann auch wirklich ein)
San
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