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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Di 17.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Ich hab die Aufgabe, folgenden Satz zu beweisen: Seien X,Y metrische Räume, f:X [mm] \to [/mm] Y. f ist genau dann auf X stetig, wenn das Urbild [mm] f^{-1} [/mm] (B)
jeder offenen Menge B [mm] \subseteq [/mm] Y eine offene Teilmenge von X ist.
Klar, es sind zwei Richtungen zu zeigen. Hab mir jetzt erstmal die Definitionen aller vorkommenden Begriffe aufgeschrieben, aber ich komm selbst mit deren Hilfe auf keinen grünen Zweig. Weiß nicht, wie ich da ran gehen soll.Wäre für hilfreiche Ansätze echt dankbar.
liebe Grüße
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> Hallöchen!
> Ich hab die Aufgabe, folgenden Satz zu beweisen: Seien X,Y
> metrische Räume, f:X [mm]\to[/mm] Y. f ist genau dann auf X stetig,
> wenn das Urbild [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> jeder offenen Menge B [mm]\subseteq[/mm] Y eine offene Teilmenge
> von X ist.
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> Klar, es sind zwei Richtungen zu zeigen. Hab mir jetzt
> erstmal die Definitionen aller vorkommenden Begriffe
> aufgeschrieben, aber ich komm selbst mit deren Hilfe auf
> keinen grünen Zweig. Weiß nicht, wie ich da ran gehen
> soll.Wäre für hilfreiche Ansätze echt dankbar.
>
> liebe Grüße
Hallo.
Ich skizzier Dir vielleicht mal eine Richtung, die andere geht in ähnlichem Stil.
Sei [mm] $\varepsilon>0$.
[/mm]
Seien $B$, [mm] $f^{-1}(B)\subset [/mm] X$ offen, [mm] $||_X$ [/mm] bezeichne die Metrik auf $X$, [mm] $||_Y$ [/mm] die auf $Y$.
Definiere nun für [mm] $x\in [/mm] X$: [mm] $B:=\{y\in Y \mid |f(x)-y|_Y<\varepsilon\}$.
[/mm]
Dann ist $B$ offen in $Y$.
Da [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] offen [mm] $\forall x_0\in f^{-1}(B) \exists \delta: \forall x\in [/mm] X: [mm] |x-x_0|_X<\delta: x\in f^{-1}(B)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|_Y<\varepsilon$, [/mm] also $f$ stetig.
Kommst Du mit diesen Skizzen weiter?
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Di 17.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Okay, danke erstmal für die Ansätze. Ist zwar anfangs schwer nachzuvollziehen, aber wenn man sich reinliest, ist es verständlich.
Hab jetzt versucht, die Rückrichtung irgendwie hinzukriegen:
Seien X,Y metrische Räume und sei f auf X stetig. Dann gilt für alle epsilon >0 existiert ein delta >0, sodass für alle x [mm] \in [/mm] X gilt: wenn d(x,x0) < delta, dann ist d(f(x),f(x0)) < epsilon. Da ein solches epsilon >0 existiert, existiert eine delta-Umgebung von x0, sodass f(delta-Umgebung(x0)) [mm] \subset [/mm] epsilon-Umgebun (f(x0)) zu [mm] f^{-1}(B). [/mm] Damit ist int B [mm] \supset [/mm] B, also B offen in Y.
Wie bringe ich das jetzt in Bezug mit X, weil ja B [mm] \subseteq [/mm] Y eine offene Teilmenge von X sein soll?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Di 17.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Franzie,
B [mm] \subseteq [/mm] Y kann natürlich nicht in X offen sein, B liegt ja noch nicht mal unbedingt in X.
Die Grundidee ist in Ordnung, aber ich verstehe in Deinen Ausführungen noch nicht ganz, was vorgegeben ist und was Du zeigen willst (Vielleicht bin ich aber auch einfach schwer von Begriff).
Mach Dir als vielleicht nochmal genau klar, was bei dieser Richtung zu tun ist:
Gegeben ist f: X [mm] \to [/mm] Y stetig (klar!).
Ausserdem haben wir eine beliebige offene Teilmenge B [mm] \subseteq [/mm] Y.
Zu zeigen ist jetzt, dass [mm]f^{-1}(B) = \{x \in X \, | \, f(x) \in B \}[/mm] eine offene Menge (in X) ist.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Di 17.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Danke für die Hilfe. Weiß jetzt, worauf das Ganze hinausläuft. Hab auch noch ein paar Ansätze in nem Buch gefunden.
liebe Grüße
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