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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | seien X={f:[0,1] -->IR | f ist stetig in ganz [0,1]} und
d:X x X --> IR
(f,g) [mm] -->\integral_{0}^{1}{|f(x) -g(x)| dx}
[/mm]
Beweise dass X=(X,d) ist ein metrischer Raum. |
um zu zeigen, dass etw. ein metrischer Raum ist, muss man symmetrie und so zeigen , nur hier sieht das alles so komplex aus, könnte mir jm mal zeigen, wie man z.B d(x,x)=0 nachweisen kann?
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> seien X={f:[0,1] -->IR | f ist stetig in ganz [0,1]} und
> d:X x X --> IR
> (f,g) [mm]-->\integral_{0}^{1}{|f(x) -g(x)| dx}[/mm]
> Beweise dass
> X=(X,d) ist ein metrischer Raum.
> um zu zeigen, dass etw. ein metrischer Raum ist, muss man
> symmetrie und so zeigen , nur hier sieht das alles so
> komplex aus, könnte mir jm mal zeigen, wie man z.B d(x,x)=0
> nachweisen kann?
Hallo,
Du mußt hierfür zeigen, daß für alle [mm] f\in [/mm] X gilt
d(f,f)=0.
Was ist d(f,f)?
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Kreide |
d(f,f) beschreibt den Abstand zwischen der Funktion f und der Funktion f.
Da f =f ist der Abstand zwischen ihnen null, wobei f:[0,1]->IR, da X: {f:[0,1]->IR,...} ist d(f,f)=d(X,X)
d(X,X) |f-f|=0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Kreide |
das gleich müsste man nochmal für d(X,X) machen, gell? also den abstand zwischen den funktionen X und X berechnen
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> das gleich müsste man nochmal für d(X,X) machen, gell? also
> den abstand zwischen den funktionen X und X berechnen
Hallo,
ich weiß beim besten Willen nicht, was Du damit meinst.
Dein X ist doch eine Menge. (Eine Menge, die gewisse Funktionen enthält).
Und wenn ich über dassselbe d nachdenke wie Du, ist dies ja eine Funktion, welche auf ein Zweitupel mit Elementen aus X angewendet wird.
da stand doch
f: X x X [mm] \to \IR, [/mm] und dann folgte die Funktionsvorschrift.
Gruß v. Angela
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> d(f,f) beschreibt den Abstand zwischen der Funktion f und
> der Funktion f.
> Da f =f ist der Abstand zwischen ihnen null,
Hallo,
das sagst Du so einfach. Das ist zu zeigen! Du mußt die Definition für Dein zu untersuchendes d verwenden.
> f:[0,1]->IR, da X: {f:[0,1]->IR,...} ist d(f,f)=d(X,X)
???
>
> d(X,X) |f-f|=0
>
???
Über welche Funktion d sprichst Du denn gerade?
Ich dachte über die Chose mit dem Integral.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Kreide |
die frage ist doch , ob d(X,d) ein metrischer Raum ist, dann muss ich doch überprüfen, ob d(X,X)=0 und d(d,d)=0 ist
X beschreibt doch die Funktion f ...
das d vor den Klammern steht jeweils für den Abstand
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> die frage ist doch , ob d(X,d) ein metrischer Raum ist,
> dann muss ich doch überprüfen, ob d(X,X)=0 und d(d,d)=0
> ist
Hallo,
Du sollst überprüfen, ob die Menge X mit der Abbildung d einen metrischen Raum bildet.
Hierfür ist zu untersuchen, ob d: X x X [mm] \to \IR [/mm] eine Metrik ist.
> d(X,X)=0 und d(d,d)=0
Das ist so'n Blödsinn, daß mir dafür wirklich die Worte fehlen...
Auf welche Art von Elementen kann d angewendet werden.
Das steht doch in der Aufgabenstelleung, Du hast es doch selbst getippt.
> X beschreibt doch die Funktion f ...
X ist eine Menge von Funktionen.
Und d ist nur für solche Zweitupel von Funktionen definiert, die X entstammen.
> das d vor den Klammern steht jeweils für den Abstand
Das d ist eine Funktion. Und Du sollst prüfen, ob es eine Metrik ist.
Trenn Dich von "Abstand". (Es ist zwar die Abstandsfunktion auch eine Metrix, aber bei Deinem d paßt doch die Vorstellung von Abstand schon nicht mehr richtig gut.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Kreide |
ich versteh das einfach nicht, muss ich jetzt diese dinge zeigen...
d(f,f)=0
d(f,g)=0 --> f,g=0
d(f,g)=d(g,f)
was ist denn d(f,f) =|[0,1]->IR -[0,1]->IR|
ichverstehe nur bahnhof....
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> ich versteh das einfach nicht, muss ich jetzt diese dinge
> zeigen...
> d(f,f)=0
> d(f,g)=0 --> f,g=0
> d(f,g)=d(g,f)
Ja, und dann noch die Dreiecksungleichung, wenn ich mich nicht täusche.
Und zwar alles für alle f,g [mm] \in [/mm] X.
>
> was ist denn d(f,f) =|[0,1]->IR -[0,1]->IR|
> ichverstehe nur bahnhof....
Hm. Wenn Du nicht schon so lange im Forum wärst, würde ich denken, Du wolltest mich auf den Arm nehmen (was nicht leicht wäre für Dich...)
Wir gucken jetzt nochmal die Aufgabenstellung an:
"Aufgabe
seien X={f:[0,1] -->IR | f ist stetig in ganz [0,1]} und
d:X x X --> IR
(f,g) $ [mm] -->\integral_{0}^{1}{|f(x) -g(x)| dx} [/mm] $
Beweise dass X=(X,d) ist ein metrischer Raum. "
Du hast da die Menge X, welche sämtliche reellen stetigen Funktionen enthält, die auf dem Intervall [0,1] definiert sind.
Nenn mal drei Beispiele für solche Funktionen!
Dann haben wir die Funktion d, welche von X x X nach [mm] \IR [/mm] geht. Einsetzen tut man also Zweitupel von Funktionen, heraus kommen eine reelle Zahlen.
Da drunter ist die Funktionsvorschrift angegeben,
(f,g) [mm] \mapsto \integral_{0}^{1}{|f(x) -g(x)| dx}
[/mm]
bedeutet doch
d(f,g):= [mm] \integral_{0}^{1}{|f(x) -g(x)| dx}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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