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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Di 09.05.2006 | | Autor: | LenaFre |
| Aufgabe | Sei (X,d) metrischer Rum und A,B [mm] \subset [/mm] X. Definiere d(A,B):= inf [mm] \{d(x,y):x\inA,y \inB \} [/mm] Zeigen Sie:
1) A ist kompakt, B abgeschlossen und A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] d(A,B)>0
2) Die anologe Aussage gilt im Allgemeinen nicht für zwei abgeschlossene Mengen. Geben Sie ein Beispiel! |
Hallo zusammen!
Bei der oben genannten Aufgabe bin ich noch nicht sehr viel weier gekommen.
zu 1) Als Hinweis habe ich hierfür bekommen folgende Funktion zu betrachten: f(x)=d(x,B):=inf [mm] \{d(x,y):y \inB \}:A \to[0, \infty). [/mm] Außerdem darf ich die Aussage: Sei (X,d) ein metrischer Raum und p [mm] \in [/mm] X fixiert, dann ist f(x)=d(x,p) stetig. benutzen.
zu 2) Hab ich lan versucht ein Gegenbeispiel zu finden, doch mir ist bis jetzt noch nichts eingefallen. Der enscheidende Unterschied muss ja darin liegen, dass es sich bei 1 um eine kompakte und eine geschlossenen Menge handelt und bei 2 um zwei geschlossenen Mengen. Also muss ja ein entscheidender Unterschied zwischen kompakter und geschlossener Mengen in diesem Fall liegen. z. B. ist ja das Intervall [0, [mm] \infty) [/mm] abgeschlossen aber nicht kompakt.
Da ich leider nicht weiter komme hoffe ich ihr könnt mir helfen. Vielen Dank!
Gruß Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Lena!
> Sei (X,d) metrischer Rum und A,B [mm]\subset[/mm] X. Definiere
> d(A,B):= inf [mm]\{d(x,y):x\inA,y \inB \}[/mm] Zeigen Sie:
>
> 1) A ist kompakt, B abgeschlossen und A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset \Rightarrow[/mm]
> d(A,B)>0
> 2) Die anologe Aussage gilt im Allgemeinen nicht für zwei
> abgeschlossene Mengen. Geben Sie ein Beispiel!
> Hallo zusammen!
>
> Bei der oben genannten Aufgabe bin ich noch nicht sehr viel
> weier gekommen.
> zu 1) Als Hinweis habe ich hierfür bekommen folgende
> Funktion zu betrachten: f(x)=d(x,B):=inf [mm]\{d(x,y):y \inB \}:A \to[0, \infty).[/mm]
> Außerdem darf ich die Aussage: Sei (X,d) ein metrischer
> Raum und p [mm]\in[/mm] X fixiert, dann ist f(x)=d(x,p) stetig.
> benutzen.
Zeige, dass diese Abbildung $f$ stetig ist. (Dafuer brauchst du, dass [mm] $d(\bullet, [/mm] p)$ stetig ist fuer jedes $p [mm] \in [/mm] X$.)
Wenn du das hast: Was weisst du ueber das Verhalten von stetigen Funktionen auf kompakten Mengen (insb. in bezug auf Minima)?
> zu 2) Hab ich lan versucht ein Gegenbeispiel zu finden,
> doch mir ist bis jetzt noch nichts eingefallen. Der
> enscheidende Unterschied muss ja darin liegen, dass es sich
> bei 1 um eine kompakte und eine geschlossenen Menge handelt
> und bei 2 um zwei geschlossenen Mengen. Also muss ja ein
> entscheidender Unterschied zwischen kompakter und
> geschlossener Mengen in diesem Fall liegen. z. B. ist ja
> das Intervall [0, [mm]\infty)[/mm] abgeschlossen aber nicht
> kompakt.
Genau, du musst unbeschraenkte Mengen nehmen. Mit Intervallen im [mm] $\IR$ [/mm] kommst du aber nicht weit. Entweder nimmst du Mengen im [mm] $\IR^2$ [/mm] (etwa den Graph einer gewissen stetigen Funktion vereinigt mit der $y$-Achse), oder gewisse diskrete Mengen im [mm] $\IR$ [/mm] (eine davon etwa [mm] $\IN$).
[/mm]
(Eine Menge heisst diskret, wenn jeder Punkt isoliert ist, es also zu jedem Punkt eine Umgebung gibt, in der kein anderer Punkt der Menge liegt. Solche Mengen sind in [mm] $\IR$ [/mm] bereits abgeschlossen.)
LG Felix
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