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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Di 16.05.2006 | | Autor: | Eumel09 |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Vektorraum über [mm] \IR. [/mm] Die Metrik heißt translationsinvariant, falls d(x-z,y-z) = d(x,y) für alle x,y,z [mm] \in [/mm] X ist.
Sie heißt homogen, falls d( [mm] \alpha [/mm] x, [mm] \alpha [/mm] y) = [mm] |\alpha| [/mm] d(x,y) für alle x,y [mm] \in [/mm] X und für alle [mm] \alpha \in \IR [/mm] gilt.
Zeigen sie:
1. Ist X ein normierter Vektorraum und d die von der Norm auf X induzierte Metrik, so ist d translationsinvariant und homogen.
2. Ist d translationsinvariant und homogen, so gibt es eine Norm auf X, die d induziert.
3. Ist die diskrete Metrik auf X [mm] \not= [/mm] {0} von einer Norm induziert? |
hallo ,
mit dieser Aufgabe komme ich nicht zurecht. Kann ich bei 1. die Translationsinvarianz folgendermaßen zeigen:
d(x-z,y-z) = |(x-z) - (y-z)| = |x-y| = d(x,y)
Ist das richtig oder habe ich was nicht beachtet. Und was genau soll man bei 2. zeigen?
danke für jede Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Di 16.05.2006 | | Autor: | choosy |
> Sei (X,d) ein metrischer Vektorraum über [mm]\IR.[/mm] Die Metrik
> heißt translationsinvariant, falls d(x-z,y-z) = d(x,y) für
> alle x,y,z [mm]\in[/mm] X ist.
> Sie heißt homogen, falls d( [mm]\alpha[/mm] x, [mm]\alpha[/mm] y) =
> [mm]|\alpha|[/mm] d(x,y) für alle x,y [mm]\in[/mm] X und für alle [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> gilt.
> Zeigen sie:
>
> 1. Ist X ein normierter Vektorraum und d die von der Norm
> auf X induzierte Metrik, so ist d translationsinvariant und
> homogen.
>
> 2. Ist d translationsinvariant und homogen, so gibt es eine
> Norm auf X, die d induziert.
>
> 3. Ist die diskrete Metrik auf X [mm]\not=[/mm] {0} von einer Norm
> induziert?
> hallo ,
>
> mit dieser Aufgabe komme ich nicht zurecht. Kann ich bei 1.
> die Translationsinvarianz folgendermaßen zeigen:
>
> d(x-z,y-z) = |(x-z) - (y-z)| = |x-y| = d(x,y)
ja, die homogenität geht genauso....
>
> Ist das richtig oder habe ich was nicht beachtet. Und was
> genau soll man bei 2. zeigen?
prinzipiell zeige einfach das durch
[mm] $\|x\|:=d(0,x)$
[/mm]
eine Norm definiert wird (eigenschaften nachrechnen)
bei teil 3 gehts bei der homogenität schief....
>
> danke für jede Hilfe
>
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