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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Fr 25.04.2008 | | Autor: | bine089 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Wie mache ich das:
Für konvergente Folgen x und y in M gilt lim d(x, y) = d(limx, limy) und jeweils mit n gegen Unendlich? Bin um jede Anregung Dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Fr 25.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Wie mache ich das:
> Für konvergente Folgen x und y in M gilt lim d(x, y) =
> d(limx, limy) und jeweils mit n gegen Unendlich? Bin um
> jede Anregung Dankbar!
>
Ich glaube, du solltest hier mit [mm] \epsilon [/mm] -Umgebungen der jeweiligen Grenzwerte arbeiten.
Wenn X und Y die beiden Grenzwerte sind, so ist d(limx, limy)=|X-Y|.
Ab einem bestimmten n liegen sowohl [mm] x_n [/mm] als auch [mm] y_n [/mm] in einem (noch so kleinen) Intervall [mm] [X-\epsilon; X+\epsilon] [/mm]
bzw. [mm] [Y-\epsilon; Y+\epsilon] [/mm] Der Betrag von [mm] [x_n [/mm] - [mm] y_n] [/mm] kann dann um höchstens [mm] 2*\epsilon [/mm] von |X-Y| abweichen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:13 Sa 26.04.2008 | | Autor: | bine089 |
HI! Vielen Dank schon mal. Aber was ich nicht ganz verstehe ist muss es nicht lim von dem Betrag von x- y heissen?
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Ich fürchte, abakus liegt nicht ganz richtig. Wir sind in einem metrischen Raum und haben keine Norm gegeben, daher ist die Argumentationsweise nicht notwendig richtig.
Betrachten wir einen Raum mit ![[]](/images/popup.gif) trivialer Metrik und die Folgen [mm](x_n)=0[/mm] (konstante Folge) bzw. [mm](y_n)=\bruch{1}{n}[/mm]. Für alle n gilt [mm]d(x_n, y_n)=1[/mm], daher kann diese Folge nur gegen 1 konvergieren. Andererseits ist
[mm]d(\lim_{n \to \infty}x_n, \lim_{n \to \infty}y_n)=d(0, 0) = 0[/mm]
Das wäre wohl ein Gegenbeispiel, oder?
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:22 So 27.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Das wäre wohl ein Gegenbeispiel, oder?
Nein. [m](y_n)[/m] konvergiert in dieser Metrik nicht.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 So 27.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Wie mache ich das:
> Für konvergente Folgen x und y in M gilt lim d(x, y) =
> d(limx, limy) und jeweils mit n gegen Unendlich? Bin um
> jede Anregung Dankbar!
Ist das genau die Aufgabe? Dann ist es klar, falls [m]x = \lim_{n\to\infty} x_n[/m] und für y analog gilt. Denn dann muss man bloß Gleichheiten einsetzen. Ist die Aufgabe nicht viel eher [m]d(x,y)=\lim_{n\to\infty} d(x_n,y_n)[/m]? Das wäre Dreiecksungleichung in beide Richtungen angewendet.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 27.04.2008 | | Autor: | bine089 |
Hallo! Ja die AUfgabe lautet genau so. Wie meinst du Gleichheiten einsetzen? Es soll ja allgemein gelten und ich habe keine Aufgabe, in die ich es einsetzten könnte! VIelen Dank schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 So 27.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Hallo! Ja die AUfgabe lautet genau so.
Ich hoffe, dass zu mindest bei den lim mehr dabei steht, als du uns verraten hast.
> Wie meinst du
> Gleichheiten einsetzen?
Aus [m]a=b[/m] folgt doch [m]d(a,x)=d(b,x)[/m] - und zwar ganz offensichtlich, da man jeweils die gleichen Elemente einsetzt.
> Es soll ja allgemein gelten und ich
> habe keine Aufgabe, in die ich es einsetzten könnte!
Häh? Was meinst du mit "in die Aufgabe einsetzen"? Sowas habe ich auch noch nie gemacht ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 So 27.04.2008 | | Autor: | bine089 |
Also die Frage lautet! Zeige, dass für konvergente Folgen gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] d(x,y) = d [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n},y_{n}) [/mm]
Ich dachte jetzt vielleicht, dass man sagt die Grenzwerte sin X und Y also nach Definition eines Metrischen Raumes ist d(X,Y) =0 wenn Y=X also ist wenn x=y auch d(x,y) = 0 also hab ich lim 0 =0
Beide Seiten ergeben also 0 wenn ich x=y setzte! Ist dass ein algemeiner Beweis? Danke für deine Hilfen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 So 27.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Also die Frage lautet! Zeige, dass für konvergente Folgen
> gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] d(x,y) = d
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n},y_{n})[/mm]
Also auf der rehcten seite fehlt eine Klammer, und dann steht da bloß ein Limit, aber zwei Folgen. Mir scheint da ist was im Argen. Die linke Seite ist konstant, und damit der Limes auch redundant. Mir kommt das immer noch sehr komisch vor!
> Ich dachte jetzt vielleicht, dass man sagt die Grenzwerte
> sin X und Y also nach Definition eines Metrischen Raumes
> ist d(X,Y) =0 wenn Y=X also ist wenn x=y auch d(x,y) = 0
> also hab ich lim 0 =0
Und wenn sie nicht gleich sind?
> Beide Seiten ergeben also 0 wenn ich x=y setzte! Ist dass
> ein algemeiner Beweis?
Nein.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 27.04.2008 | | Autor: | bine089 |
SOrry ich weiss es echt nicht wie geht und dass kit dem tippen sollt ich auch noch ma üben also nochmal [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] d( x,y) = d [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}x, \limes_{n\rightarrow\infty}y)
[/mm]
so jetzt stimmts! Verräts du mir jetzt wies geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:55 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> SOrry ich weiss es echt nicht wie geht und dass kit dem
> tippen sollt ich auch noch ma üben also nochmal
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] d( x,y) = d [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}x, \limes_{n\rightarrow\infty}y)[/mm]
>
> so jetzt stimmts! Verräts du mir jetzt wies geht?
ich glaube nicht, dass das so stimmt. Offensichtlich ist nämlich [mm] $\lim_{n \to \infty} [/mm] d(x,y)=d(x,y)$, und wenn man dort noch [mm] $x=\lim_{n \to \infty}x_n$ [/mm] und [mm] $y=\lim_{n \to \infty}y_n$ [/mm] einsetzt, ist die ganze Aufgabe eine Banalität.
Sollst Du nicht vielleicht zeigen:
[mm] $\lim_{n \to \infty} d(x_{\red{n}},y_{\red{n}})=d(x,y)$ [/mm] (mit [mm] $d(x,y)=d(\lim_{n \to \infty}x_n,\lim_{n \to \infty}y_n)$).
[/mm]
Dann würde die Aufgabe nämlich auch mehr Sinn machen, als bloß [mm] $x=\lim_{n \to \infty}x_n$ [/mm] und [mm] $y=\lim_{n \to \infty}y_n$ [/mm] einzusetzen...
Dann solltest Du abschätzen:
[mm] $(\star)$ $|d(x_n,y_n)-d(x,y)|=|d(x_n,y_n)-d(x,y_n)+d(x,y_n)-d(x,y)| \le |d(x_n,y_n)-d(x,y_n)|+|d(x,y_n)-d(x,y)|$
[/mm]
Nun gilt [mm] $d(x,y_n) \le d(x,y)+d(y,y_n)$, [/mm] woraus
(I) [mm] $d(x,y_n)-d(x,y) \le d(y,y_n)$ [/mm] folgt.
Zudem gilt:
$d(x,y) [mm] \le d(x,y_n)+d(y_n,y)$, [/mm] woraus
(II) [mm] $-d(y_n,y) \le d(x,y_n)-d(x,y)$ [/mm] folgt.
(I) und (II) bedeutet zusammen:
(III) [mm] $|d(x,y_n)-d(x,y)| \le d(y,y_n)$ [/mm] und wegen [mm] $y_n \to [/mm] y$ ist daher [mm] $(f_n)_{n \in \IN}:\equiv(d(x,y_n)-d(x,y))_{n \in \IN}$ [/mm] als Nullfolge erkannt.
In [mm] $(\star)$ [/mm] folgt also
[mm] $|d(x_n,y_n)-d(x,y)| \le |d(x_n,y_n)-d(x,y_n)|+f_n$ [/mm] wobei [mm] $f_n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Du solltest also noch begründen, warum [mm] $|d(x_n,y_n)-d(x,y_n)| \to [/mm] 0$ bzw.
[mm] $(\star\star)$ $|d(x_n,y_n)-d(y_n,x)| \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm] Dazu:
Schau' Dir mal an, wie wir aus den Ungleichungen (I) und (II) die (III) hergeleitet haben. Allgemein gilt also für $m,p,q [mm] \in [/mm] M$:
$|d(p,m)-d(m,q)| [mm] \le [/mm] d(p,q)$
Damit erhälst Du für [mm] $(\star\star)$ [/mm] (mit [mm] $p=x_n$, $m=y_n$, [/mm] $q=$x):
[mm] $|d(x_n,y_n)-d(y_n,x)| \le d(x_n,x)$
[/mm]
Damit bist Du fertig, weil...?
P.S.:
Die Abschätzungen brauchst Du natürlich nur so, falls auch wirklich gezeigt werden soll:
[mm] $d(x_n,y_n) \to [/mm] d(x,y)$ bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Das ist (für mich jedenfalls momentan) aber auch die einzige sinnvoll erkennbare Aufgabe...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Mo 28.04.2008 | | Autor: | bine089 |
Ja so lautet die aufgabe undjett macht das auch alles Sinn ! Danke
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