metrischer raum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Fr 14.11.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Es sei (X,d) ein metrischer raum und [mm] (a_n) \in X^\IN [/mm] eine folge.
zeige: [mm] (a_n) [/mm] konvergiert genau dann, wenn jede teilfolge konvergiert und alle grenzwerte übereinstimmen. |
hallo, hier mal meine bisherigen gedanken--leider eben noch etwas wirr und unvollständig:
-ich muss in beide richtungen beweisen
[mm] -a_n [/mm] konvergiert gegen a [mm] \Rightarrow [/mm] jede TF [mm] a_n_k [/mm] konvergiert gegen gleichen grenzwert a
-alle TF konvergieren gegen gleiches a [mm] \Rightarrow [/mm] a ist auch häufungspunkt in [mm] a_n---da a_n [/mm] beschränkt (weil jede TF beschränkt) ist a einzigster häufungspunkt und somit grenzwert
was stimmt davon und ist im beweis verwertbar?
völlig außer acht gelassen habe ich auch die defi des metrischen raumes--was ändert sich in diesem fall im vergleich zu "normalen" folgen?
gruß und dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei (X,d) ein metrischer raum und [mm](a_n) \in X^\IN[/mm] eine
> folge.
> zeige: [mm](a_n)[/mm] konvergiert genau dann, wenn jede teilfolge
> konvergiert und alle grenzwerte übereinstimmen.
> hallo, hier mal meine bisherigen gedanken--leider eben
> noch etwas wirr und unvollständig:
> -ich muss in beide richtungen beweisen
ja, allerdings ist die Richtung: [mm] "$(a_n)_n$ [/mm] konvergiert [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Jede Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert und auch alle gegen den gleichen Grenzwert" ziemlich trivial (eigentlich sind beide Richtungen fast trivial, aber man muss es mal gesehen haben).
Ich mache es mal für [mm] $\IR\,,$ [/mm] das läßt sich auch analog auf einen beliebigen metrischen Raum übertragen:
Wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert, gibt es ein $a [mm] \in \IR$ [/mm] (hier ist also [mm] $X=\IR$) [/mm] so, dass für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] existiert mit [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon\,$ [/mm] (hier ist also [mm] $d(a,a_n)=|a-a_n|$). [/mm]
Sei nun [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] (irgend)eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n\,.$
[/mm]
Ist nun [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ bel. aber fest, so wähle $M:=N$ mit einem [mm] $N=N(\varepsilon)$ [/mm] von oben (dessen Existenz ergibt sich also aus der Konvergenz von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $\,a\,$) [/mm] und nun ist [mm] $|a_{n_k}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon\,$ [/mm] für alle $k [mm] \ge M=N\,,$ [/mm] da [mm] $n_k \ge N\,,$ [/mm] weil [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] war.
Das zeigt, dass eine jede beliebige Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a:=\lim_{n \to \infty} a_n$ [/mm] konvergiert.
> [mm]-a_n[/mm] konvergiert gegen a [mm]\Rightarrow[/mm] jede TF [mm]a_n_k[/mm]
> konvergiert gegen gleichen grenzwert a
Ja, oben steht es ein wenig ausführlicher. Im Prinzip benötigt man bei dem Beweis dazu nur die [mm] $\varepsilon$-$N(\varepsilon)$-Definition [/mm] sowie, dass bei der TF [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] die Folge [mm] $(n_k)_k$ [/mm] monoton wachsend ist.
> -alle TF konvergieren gegen gleiches a [mm]\Rightarrow[/mm] a ist
> auch häufungspunkt in [mm]a_n---da a_n[/mm] beschränkt (weil jede TF
> beschränkt) ist a einzigster häufungspunkt und somit
> grenzwert
Hier kann ich Deine Argumentation nicht so ganz nachvollziehen. Willst Du darauf hinaus, dass es dann ja einen und nur einen Häufungspunkt für [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gibt und dieser eben [mm] $\,a\,$ [/mm] ist? Dann solltest Du vielleicht nun so anfangen, dass Du sagst:
Angenommen, [mm] $(a_n)_n$ [/mm] sei nicht konvergent aber alle Teilfolgen [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] konvergieren, und zwar alle gegen [mm] $\,a\,$... [/mm] und das zum Widerspruch führen. Ich denke jedenfalls, dass das Dein Gedankengang ist, oder?
Ich würde folgendes machen:
Wenn alle Teilfolgen von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen gleiches [mm] $\,a\,$ [/mm] konvergieren, dann konvergieren insbesondere die beiden Teilfolgen [mm] $(a_{2n})_{n\in \IN}$ [/mm] und [mm] $(a_{2n-1})_{n \in \IN}$ [/mm] gegen [mm] $a\,.$
[/mm]
D.h. aber:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so gibt es ein [mm] $N_1 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $|a_{2n-1}-a|<\varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_1$ [/mm] und es gibt ein [mm] $N_2 \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $|a_{2n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_2\,.$
[/mm]
Nun zeige:
Für alle $n [mm] \ge \text{max}\{2N_1-1,\;2N_2\}$ [/mm] gilt [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$
[/mm]
P.S.:
Natürlich musst Du jetzt schauen, dass Du $|x-y|$ mit $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] durch $d(x,y)$ mit $x,y [mm] \in [/mm] X$ ersetzt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Fr 14.11.2008 | | Autor: | jura |
hallo und vielen dank!!!
>
> ja, allerdings ist die Richtung: "[mm](a_n)_n[/mm] konvergiert
> [mm]\Rightarrow[/mm] Jede Teilfolge [mm](a_{n_k})_k[/mm] von [mm](a_n)_n[/mm]
> konvergiert und auch alle gegen den gleichen Grenzwert"
> ziemlich trivial (eigentlich sind beide Richtungen fast
> trivial, aber man muss es mal gesehen haben).
>
> Ich mache es mal für [mm]\IR\,,[/mm] das läßt sich auch analog auf
> einen beliebigen metrischen Raum übertragen:
> Wenn [mm](a_n)_n[/mm] konvergiert, gibt es ein [mm]a \in \IR[/mm] (hier ist
> also [mm]X=\IR[/mm]) so, dass für alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein
> [mm]N=N(\varepsilon) \in \IN[/mm] existiert mit [mm]|a_n-a| < \varepsilon\,[/mm]
> (hier ist also [mm]d(a,a_n)=|a-a_n|[/mm]).
>
> Sei nun [mm](a_{n_k})_k[/mm] (irgend)eine Teilfolge von [mm](a_n)_n\,.[/mm]
> Ist nun [mm]\varepsilon > 0[/mm] bel. aber fest, so wähle [mm]M:=N[/mm] mit
> einem [mm]N=N(\varepsilon)[/mm] von oben (dessen Existenz ergibt
> sich also aus der Konvergenz von [mm](a_n)_n[/mm] gegen [mm]\,a\,[/mm]) und
> nun ist [mm]|a_{n_k}-a| < \varepsilon\,[/mm] für alle [mm]k \ge M=N\,,[/mm]
> da [mm]n_k \ge N\,,[/mm] weil [mm](a_{n_k})_k[/mm] eine Teilfolge von [mm](a_n)_n[/mm]
> war.
ich verstehe die letzten aussagen nicht so ganz- wieso k [mm] \ge [/mm] M=N und [mm] n_k \ge [/mm] N ---was bedeutet das??
> Das zeigt, dass eine jede beliebige Teilfolge von [mm](a_n)_n[/mm]
> gegen [mm]a:=\lim_{n \to \infty} a_n[/mm] konvergiert.
>
> > [mm]-a_n[/mm] konvergiert gegen a [mm]\Rightarrow[/mm] jede TF [mm]a_n_k[/mm]
> > konvergiert gegen gleichen grenzwert a
>
> Ja, oben steht es ein wenig ausführlicher. Im Prinzip
> benötigt man bei dem Beweis dazu nur die
> [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]N(\varepsilon)[/mm]-Definition
ich glaube, diese definition kenne ich noch nicht- was bedeutet hier N?
sowie, dass bei der
> TF [mm](a_{n_k})_k[/mm] die Folge [mm](n_k)_k[/mm]
und was bedeuten diese beiden folgen? ich kenne nur [mm] a_n_k [/mm] und [mm] a_n.
[/mm]
monoton wachsend ist.
und an welchen stellen hast du oben diese definitionen verwendet?
>
> > -alle TF konvergieren gegen gleiches a [mm]\Rightarrow[/mm] a ist
> > auch häufungspunkt in [mm]a_n---da a_n[/mm] beschränkt (weil jede TF
> > beschränkt) ist a einzigster häufungspunkt und somit
> > grenzwert
>
> Hier kann ich Deine Argumentation nicht so ganz
> nachvollziehen. Willst Du darauf hinaus, dass es dann ja
> einen und nur einen Häufungspunkt für [mm](a_n)_n[/mm] gibt und
> dieser eben [mm]\,a\,[/mm] ist? Dann solltest Du vielleicht nun so
> anfangen, dass Du sagst:
> Angenommen, [mm](a_n)_n[/mm] sei nicht konvergent aber alle
> Teilfolgen [mm](a_{n_k})_k[/mm] konvergieren, und zwar alle gegen
> [mm]\,a\,[/mm]... und das zum Widerspruch führen. Ich denke
> jedenfalls, dass das Dein Gedankengang ist, oder?
ja, genau, so wars gemeint--also kann ich den 2.beweisteil so in etwa führen??
> Ich würde folgendes machen:
> Wenn alle Teilfolgen von [mm](a_n)_n[/mm] gegen gleiches [mm]\,a\,[/mm]
> konvergieren, dann konvergieren insbesondere die beiden
> Teilfolgen [mm](a_{2n})_{n\in \IN}[/mm] und [mm](a_{2n-1})_{n \in \IN}[/mm]
> gegen [mm]a\,.[/mm]
> D.h. aber:
> Ist [mm]\varepsilon > 0\,,[/mm] so gibt es ein [mm]N_1 \in \IN[/mm] mit
> [mm]|a_{2n-1}-a|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n \ge N_1[/mm] und es gibt ein
> [mm]N_2 \in \IN[/mm] so, dass [mm]|a_{2n}-a| < \varepsilon[/mm] für alle [mm]n \ge N_2\,.[/mm]
>
> Nun zeige:
> Für alle [mm]n \ge \text{max}\{2N_1-1,\;2N_2\}[/mm] gilt [mm]|a_n-a| < \varepsilon\,.[/mm]
das brauche ich dann nichtm, wenn ich die andere variante von oben wähle, oder?
>
> P.S.:
> Natürlich musst Du jetzt schauen, dass Du [mm]|x-y|[/mm] mit [mm]x,y \in \IR[/mm]
> durch [mm]d(x,y)[/mm] mit [mm]x,y \in X[/mm] ersetzt.
ja, klar.
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jura,
ich habe gerade wenig Zeit, entweder schaue ich mir das die Tage nochmal an (morgen - hoffe ich) oder es darf/kann selbstverständlich auch jemand anderes etwas dazu sagen 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jura,
> hallo und vielen dank!!!
> >
> > ja, allerdings ist die Richtung: "[mm](a_n)_n[/mm] konvergiert
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Jede Teilfolge [mm](a_{n_k})_k[/mm] von [mm](a_n)_n[/mm]
> > konvergiert und auch alle gegen den gleichen Grenzwert"
> > ziemlich trivial (eigentlich sind beide Richtungen fast
> > trivial, aber man muss es mal gesehen haben).
> >
> > Ich mache es mal für [mm]\IR\,,[/mm] das läßt sich auch analog auf
> > einen beliebigen metrischen Raum übertragen:
> > Wenn [mm](a_n)_n[/mm] konvergiert, gibt es ein [mm]a \in \IR[/mm] (hier
> ist
> > also [mm]X=\IR[/mm]) so, dass für alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein
> > [mm]N=N(\varepsilon) \in \IN[/mm] existiert mit [mm]|a_n-a| < \varepsilon\,[/mm]
> > (hier ist also [mm]d(a,a_n)=|a-a_n|[/mm]).
> >
> > Sei nun [mm](a_{n_k})_k[/mm] (irgend)eine Teilfolge von [mm](a_n)_n\,.[/mm]
> > Ist nun [mm]\varepsilon > 0[/mm] bel. aber fest, so wähle [mm]M:=N[/mm]
> mit
> > einem [mm]N=N(\varepsilon)[/mm] von oben (dessen Existenz ergibt
> > sich also aus der Konvergenz von [mm](a_n)_n[/mm] gegen [mm]\,a\,[/mm]) und
> > nun ist [mm]|a_{n_k}-a| < \varepsilon\,[/mm] für alle [mm]k \ge M=N\,,[/mm]
> > da [mm]n_k \ge N\,,[/mm] weil [mm](a_{n_k})_k[/mm] eine Teilfolge von [mm](a_n)_n[/mm]
> > war.
>
> ich verstehe die letzten aussagen nicht so ganz- wieso k
> [mm]\ge[/mm] M=N und [mm]n_k \ge[/mm] N ---was bedeutet das??
wie habt ihr denn Teilfolgen definiert? Ich kenne diese (![[]](/images/popup.gif) Definition 5.22):
Eine Folge [mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] heißt (genau dann) Teilfolge der Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}\,,$ [/mm] wenn die Folge [mm] $(n_k)_{k \in \IN}$ [/mm] eine streng monoton wachsende Folge in [mm] $\IN$ [/mm] ist.
(Das gilt auch in metr. Räumen.)
Und wenn [mm] $(n_k)_k$ [/mm] eine streng monoton wachsende Folge in [mm] $\IN$ [/mm] ist, so folgt daraus insbesondere [mm] $n_k \ge [/mm] k$ für alle $k [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
> > Das zeigt, dass eine jede beliebige Teilfolge von [mm](a_n)_n[/mm]
> > gegen [mm]a:=\lim_{n \to \infty} a_n[/mm] konvergiert.
> >
> > > [mm]-a_n[/mm] konvergiert gegen a [mm]\Rightarrow[/mm] jede TF [mm]a_n_k[/mm]
> > > konvergiert gegen gleichen grenzwert a
> >
> > Ja, oben steht es ein wenig ausführlicher. Im Prinzip
> > benötigt man bei dem Beweis dazu nur die
> > [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]N(\varepsilon)[/mm]-Definition
> ich glaube, diese definition kenne ich noch nicht- was
> bedeutet hier N?
Das verwundert mich jetzt. Wie habt ihr denn den Begriff der Konvergenz eingeführt? Ich kenne die (durchaus gängige) Definition 5.1.2.
Bzw. in metrischen Räumen:
Definition 8.14.
(Das ist aber vollkommen analog.)
> sowie, dass bei der
> > TF [mm](a_{n_k})_k[/mm] die Folge [mm](n_k)_k[/mm]
> und was bedeuten diese beiden folgen? ich kenne nur [mm]a_n_k[/mm]
> und [mm]a_n.[/mm]
> monoton wachsend ist.
> und an welchen stellen hast du oben diese definitionen
> verwendet?
> >
> > > -alle TF konvergieren gegen gleiches a [mm]\Rightarrow[/mm] a ist
> > > auch häufungspunkt in [mm]a_n---da a_n[/mm] beschränkt (weil jede TF
> > > beschränkt) ist a einzigster häufungspunkt und somit
> > > grenzwert
> >
> > Hier kann ich Deine Argumentation nicht so ganz
> > nachvollziehen. Willst Du darauf hinaus, dass es dann ja
> > einen und nur einen Häufungspunkt für [mm](a_n)_n[/mm] gibt und
> > dieser eben [mm]\,a\,[/mm] ist? Dann solltest Du vielleicht nun so
> > anfangen, dass Du sagst:
> > Angenommen, [mm](a_n)_n[/mm] sei nicht konvergent aber alle
> > Teilfolgen [mm](a_{n_k})_k[/mm] konvergieren, und zwar alle gegen
> > [mm]\,a\,[/mm]... und das zum Widerspruch führen. Ich denke
> > jedenfalls, dass das Dein Gedankengang ist, oder?
>
>
>
> ja, genau, so wars gemeint--also kann ich den 2.beweisteil
> so in etwa führen??
Ja. Wobei, wenn ich das richtig sehe, diese Richtung nun wohl doch die ganz triviale ist: Wenn jede Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen ein und das selbe [mm] $\,a\,$ [/mm] konvergieren, dann konvergiert insbesondere auch die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,.$ [/mm] Denn jede Folge kann als Teilfolge von sich selbst angesehen werden (da [mm] $(n_k)_{k \in \IN}:\equiv (n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine streng monoton wachsende Folge in [mm] $\IN$ [/mm] ist).
(Siehe den Einwand von felixf.)
Natürlich kannst Du jetzt auch sagen:
Da jede Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen ein und das selbe [mm] $\,a\,$ [/mm] konvergieren, ist jedenfalls [mm] $\,a\,$ [/mm] ein Häufungspunkt. Angenommen, [mm] $(a_n)_n$ [/mm] divergiere. Dann gäbe es einen weiteren HP...
> > Ich würde folgendes machen:
> > Wenn alle Teilfolgen von [mm](a_n)_n[/mm] gegen gleiches [mm]\,a\,[/mm]
> > konvergieren, dann konvergieren insbesondere die beiden
> > Teilfolgen [mm](a_{2n})_{n\in \IN}[/mm] und [mm](a_{2n-1})_{n \in \IN}[/mm]
> > gegen [mm]a\,.[/mm]
> > D.h. aber:
> > Ist [mm]\varepsilon > 0\,,[/mm] so gibt es ein [mm]N_1 \in \IN[/mm] mit
> > [mm]|a_{2n-1}-a|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n \ge N_1[/mm] und es gibt ein
> > [mm]N_2 \in \IN[/mm] so, dass [mm]|a_{2n}-a| < \varepsilon[/mm] für alle [mm]n \ge N_2\,.[/mm]
>
> >
> > Nun zeige:
> > Für alle [mm]n \ge \text{max}\{2N_1-1,\;2N_2\}[/mm] gilt [mm]|a_n-a| < \varepsilon\,.[/mm]
>
> das brauche ich dann nichtm, wenn ich die andere variante
> von oben wähle, oder?
> >
> > P.S.:
> > Natürlich musst Du jetzt schauen, dass Du [mm]|x-y|[/mm] mit [mm]x,y \in \IR[/mm]
> > durch [mm]d(x,y)[/mm] mit [mm]x,y \in X[/mm] ersetzt.
>
> ja, klar.
Also wie gesagt: Anscheinend ist's doch eher so, dass die Richtung: "Wenn jede TF gegen ein und den selben GW konvergieren, dann konvergiert auch die Folge selbst gegen diesen." die ganz banale (weil jede Folge auch als Teilfolge von sich selbst angesehen werden kann).
Bei der anderen Beweisrichtung hat man dann doch vll. ein klein wenig mehr zu tun.
Also:
Führe vll. mal den Beweis für "Folge konvergent gegen [mm] $\,a\,$ $\Rightarrow$ [/mm] alle Teilfolgen auch konvergent gegen [mm] $\,a\,$" [/mm] mit Deinen Sätzen/Definitionen über Häufungspunkte.
Ich müsste jetzt Euren genauen Wissensstand kennen, um zu beurteilen, was Du machen darfst und was nicht. Deswegen schreibe vll. auch mal, wie ihr den Begriff der Konvergenz definiert habt.
P.S.:
Oder sagen wir es mal so:
Schreibe nun mal einen Vorschlag, wie Du den ganzen Beweis aufschreiben würdest. Und verweise dabei auch auf die Sätze/Definitionen, die ihr verwenden dürft.
(Für beschränkte Folgen gibt es ja eine gewisse Äquivalenz, siehe hier, wobei man dort anstelle von Häufungspunkten einer Folge den Begriff Häufungswerte einer Folge benützt. Das heißt für Dich aber wiederum, dass Du evtl. Fallunterscheidungen treffen musst bzw. an Argumente denken/oder Argumente suchen solltest, warum es sich bei Deinen Aussagen eh stets nur um beschränkte Folgen handelt (im Prinzip reicht es, zu wissen: Konvergente Folgen sind insbesondere beschränkt; da muss man natürlich wissen, was "Beschränktheit" in einem metrischen Raum heißen soll; dazu findest Du auch etwas in obigem Skript). Wie gesagt, ich kenne Deine Vorlesung ja nicht wortgetreu.)
Also:
Vielleicht habt ihr den Begriff der Konvergenz einer Folge in einem metrischen Raum mit "Häufungspunkt einer Folge" definiert.
Und vorher hattet ihr natürlich definiert, was ein Häufungspunkt einer Folge in einem metrischen Raum ist, so wie z.B. bei Wiki: Folgenhäufungspunkt.)
Es wäre quasi hilfreich, wenn Du den Beweis mal so aufschreibst, dass Du alles, was Verwendung findet (Sätze+Definition) nochmal separat mitteilst (von mir aus auch mit Links im Inet). Beweise für die verwendeten Sätze brauchen wir natürlich nicht 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Fr 14.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich würde folgendes machen:
> Wenn alle Teilfolgen von [mm](a_n)_n[/mm] gegen gleiches [mm]\,a\,[/mm]
> konvergieren, dann konvergieren insbesondere die beiden
> Teilfolgen [mm](a_{2n})_{n\in \IN}[/mm] und [mm](a_{2n-1})_{n \in \IN}[/mm]
> gegen [mm]a\,.[/mm]
Warum so kompliziert? Wenn alle Teilfolgen von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen $a$ konvergieren, dann konvertiert insbesondere auch die Teilfolge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen $a$, was zu zeigen war. :)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
>
> > Ich würde folgendes machen:
> > Wenn alle Teilfolgen von [mm](a_n)_n[/mm] gegen gleiches [mm]\,a\,[/mm]
> > konvergieren, dann konvergieren insbesondere die beiden
> > Teilfolgen [mm](a_{2n})_{n\in \IN}[/mm] und [mm](a_{2n-1})_{n \in \IN}[/mm]
> > gegen [mm]a\,.[/mm]
>
> Warum so kompliziert? Wenn alle Teilfolgen von [mm](a_n)_n[/mm]
> gegen [mm]a[/mm] konvergieren, dann konvertiert insbesondere auch
> die Teilfolge [mm](a_n)_n[/mm] gegen [mm]a[/mm], was zu zeigen war. :)
ich weiß auch nicht, vielleicht, weil ich immer mit "echten" Teilfolgen hantieren will (ich weiß auch gerade nicht, ob man das nicht sogar in mancher Definition fordert; ich glaube, das mal irgendwo gelesen zu haben). Aber Du hast natürlich Recht. In der "üblichen" Definition denke ich mal wieder zu kompliziert
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Sa 15.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > > Ich würde folgendes machen:
> > > Wenn alle Teilfolgen von [mm](a_n)_n[/mm] gegen gleiches
> [mm]\,a\,[/mm]
> > > konvergieren, dann konvergieren insbesondere die beiden
> > > Teilfolgen [mm](a_{2n})_{n\in \IN}[/mm] und [mm](a_{2n-1})_{n \in \IN}[/mm]
> > > gegen [mm]a\,.[/mm]
> >
> > Warum so kompliziert? Wenn alle Teilfolgen von [mm](a_n)_n[/mm]
> > gegen [mm]a[/mm] konvergieren, dann konvertiert insbesondere auch
> > die Teilfolge [mm](a_n)_n[/mm] gegen [mm]a[/mm], was zu zeigen war. :)
>
> ich weiß auch nicht, vielleicht, weil ich immer mit
> "echten" Teilfolgen hantieren will (ich weiß auch gerade
> nicht, ob man das nicht sogar in mancher Definition
> fordert; ich glaube, das mal irgendwo gelesen zu haben).
> Aber Du hast natürlich Recht. In der "üblichen" Definition
> denke ich mal wieder zu kompliziert
Wenn man umbedingt echte haben moechte, kann man ja auch einfach das erste Folgenglied weglassen :)
Es sei denn man fordert aus irgendeinem Grund, dass es unendlich viele "Loecher" geben muss... Aber das hab ich noch nie gesehen :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:47 So 16.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi Felix,
> > ich weiß auch nicht, vielleicht, weil ich immer mit
> > "echten" Teilfolgen hantieren will (ich weiß auch gerade
> > nicht, ob man das nicht sogar in mancher Definition
> > fordert; ich glaube, das mal irgendwo gelesen zu haben).
> > Aber Du hast natürlich Recht. In der "üblichen" Definition
> > denke ich mal wieder zu kompliziert
>
> Wenn man umbedingt echte haben moechte, kann man ja auch
> einfach das erste Folgenglied weglassen :)
das ist/war mir auch klar. Ich sagte's doch schon bzw. nochmal anders ausgedrückt, dass ich manchmal so denke:
Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht?
Wobei es bei dieser banalen Aufgabe ja nun auch nicht schlimm ist, eine etwas kompliziertere Lösung anzugeben. Es geht hierbei ja eher um das Grundverständnis. Das ist ja keine wirklich komplizierte mathematische Aussage, die es da zu beweisen gibt. (Was nicht heißt, dass die Aussage uninteressant wäre.)
> Es sei denn man fordert aus irgendeinem Grund, dass es
> unendlich viele "Loecher" geben muss... Aber das hab ich
> noch nie gesehen :)
Kein Problem, ich kann gerne solche Folgen definieren und nenne sie dann gelöcherte Teilfolgen
Wer mag', kann nun ein Analogon des obigen Satz mal mit diesen formulieren :D
Aber ernsthaft: Es ist mir durchaus klar, dass ich nicht die eleganteste Lösung vorgeschlagen habe, nichtsdestotrotz ist es eine.
Grüße zurück,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:10 So 16.11.2008 | | Autor: | jura |
hallo und vielen dank für all eure ausführlichen diskussionen--nur leider bringt mir das an vielen stellen recht wenig, da ich mir nicht vorstellen kann, was sich hinter den einzelnen buchstaben verbirgt!
ist N [mm] (\varepsilon) [/mm] vielleicht das, was ich als [mm] n_0 [/mm] kenne, also das glied einer folge, ab welchem der abstand zum grenzwert < [mm] \varepsilon [/mm] wird? (das entspricht dann meiner definition für konvergenz)
ich denke, am besten kann ich alles an einem bsp verstehn: nehmen wir mal:
[mm] (a_n)= \bruch{1}{n} [/mm] = ( 1, [mm] \bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},..., \bruch{1}{n})
[/mm]
dann ist nach meinem verständnis eine teilfolge:
[mm] (a_n_k)= (\bruch{1}{4}, \bruch{1}{5}, \bruch{1}{27}). [/mm] ich suche beliebig viele elemente aus der folge [mm] a_n, [/mm] wichtig ist nur, dass die reihenfolge bleibt, richtig?
doch was ist in meinem bsp nun hier das k? und was ist [mm] n_k [/mm] (was ja streng monoton steigend sein soll)??
wär schön, wenn mir jemand beim grundverständnis weiterhelfen könnte, danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 So 16.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo und vielen dank für all eure ausführlichen
> diskussionen--nur leider bringt mir das an vielen stellen
> recht wenig, da ich mir nicht vorstellen kann, was sich
> hinter den einzelnen buchstaben verbirgt!
> ist N [mm](\varepsilon)[/mm] vielleicht das, was ich als [mm]n_0[/mm] kenne,
> also das glied einer folge, ab welchem der abstand zum
> grenzwert < [mm]\varepsilon[/mm] wird? (das entspricht dann meiner
> definition für konvergenz)
genau!
> ich denke, am besten kann ich alles an einem bsp verstehn:
> nehmen wir mal:
>
> [mm](a_n)=\red{\left(} \bruch{1}{n}\red{\right)}[/mm] = ( 1, [mm]\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},..., \bruch{1}{n},\red{...})[/mm]
>
> dann ist nach meinem verständnis eine teilfolge:
>
> [mm](a_n_k)= (\bruch{1}{4}, \bruch{1}{5}, \bruch{1}{27},\red{...}).[/mm]
> ich suche beliebig viele elemente aus der folge [mm]a_n,[/mm]
> wichtig ist nur, dass die reihenfolge bleibt, richtig?
Genau, und das ist eben, weil die "Indexfolge einer Teilfolge" monoton wachsend sein soll, gegeben.
> doch was ist in meinem bsp nun hier das k? und was ist [mm]n_k[/mm]
> (was ja streng monoton steigend sein soll)??
[mm] $a_{n_1}=a_4\,,$ $a_{n_2}=a_5\,,$ $a_{n_3}=a_{27}\,...$
[/mm]
Hier wäre also [mm] $n_1=4\,,$ $n_2=5\,,$ $n_3=27\,...$
[/mm]
Jetzt klarer?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 So 16.11.2008 | | Autor: | jura |
ja, super, danke!
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