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| Aufgabe | Sei V = C([−1, 1],R) der R-Vektorraum der stetigen Funktionen auf [−1, 1] und sei U der
Unterraum aller Polynomabbildungen vom Grad 3 eingeschr¨ankt auf [−1, 1]. Weiterhin
sei f : [−1, 1] -> R definiert durch f(x) = |x|.
Bestimmen Sie ein Element aus U, das zu f den kleinsten Abstand hat und zwar bzgl.
der Metrik, die durch das folgende Skalarprodukt induziert wird:
<g,h> [mm] =\integral_{-1}^{1}{g(x) h(x) dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe die beiden Funktionen in die Metrik eingesetz und zwar
d(f,g) = [mm] \parallel [/mm] f-g [mm] \parallel [/mm] = <f-g,f-g> = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] -2 [mm] \integral_{-1}^{1}{|x| g(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{-1}^{1}{ g²(x) dx}
[/mm]
um davon das minimum zu berechnen, müsste ich es ja logischerweise ableiten, aber ich weiß leider nicht, wie ich das anstellen soll. Oder bin ich mit dem weg völlig falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:28 Fr 27.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei V = C([−1, 1],R) der R-Vektorraum der stetigen
> Funktionen auf [−1, 1] und sei U der
> Unterraum aller Polynomabbildungen vom Grad 3
> eingeschr¨ankt auf [−1, 1]. Weiterhin
> sei f : [−1, 1] -> R definiert durch f(x) = |x|.
> Bestimmen Sie ein Element aus U, das zu f den kleinsten
> Abstand hat und zwar bzgl.
> der Metrik, die durch das folgende Skalarprodukt induziert
> wird:
> <g,h> [mm]=\integral_{-1}^{1}{g(x) h(x) dx}[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich habe die beiden Funktionen in die Metrik eingesetz und
> zwar
>
> d(f,g) = [mm]\parallel[/mm] f-g [mm]\parallel[/mm] = <f-g,f-g> = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> -2 [mm]\integral_{-1}^{1}{|x| g(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{-1}^{1}{ g²(x) dx}[/mm]
>
> um davon das minimum zu berechnen, müsste ich es ja
> logischerweise ableiten, aber ich weiß leider nicht, wie
> ich das anstellen soll. Oder bin ich mit dem weg völlig
> falsch?
Der Weg ist im Prinzip richtig. Schreib dir doch das allgemeinste Polynom [mm] $g\in [/mm] U$ hin und führe die Integration aus.
Tipp: Wenn du $g(x)$ in den geraden und ungeraden Anteil zerlegst: $g(x)=g_+(x)+g_-(x)$ mit $g_+(-x)=g_+(x)$ und $g_-(x)=-g_-(x)$, dann kommt heraus, dass für das Minimum des Abstands $g_-(x)=0$ gelten muss.
Viele Grüße
Rainer
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