min.,max. Anzahl an Idealen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 So 24.04.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Hab hier glaub ich zumindestes nicht so schwere Aufgabe vor mir, wo ich aber trotzdem nicht draufkomm:
Was ist die minimale,maximale Anzahl von Idealen, die ein Körper besitzen kann?
Ich weiß was die Begriffe bedeuten. Könnt ihr mir ein paar Tips geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 So 24.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Was meinst du genau? Wie viele Ideale ein Körper $K$ (als Ring) besitzt?
Immer genau zwei!
Und zwar [mm] $\{0\}$ [/mm] und $K$ selbst.
Kannst du dir vorstellen, warum er nie mehr besitzt?
Nehme mal an, es ist ein $x [mm] \in [/mm] K$ in einem Ideal $I$. Warum liegt dann auch automatisch jedes andere Element $y [mm] \in [/mm] K$ in $I$? Hast du eine Idee?
Tipp: $y= y [mm] \cdot (x^{-1} \cdot [/mm] x)$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Hab da noch ne Frage zu dem Beispiel:
Sei (R,+,*) ein beliebiger Unterring von (K,+,*). Damit R ein Ideal in K sein kann, muss [mm] \forall [/mm] k [mm] \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] r [mm] \inR: [/mm] k*r [mm] \in [/mm] R und r * k [mm] \in [/mm] R gelten.
Sei k [mm] \in [/mm] K, r [mm] \in [/mm] R, r != 0. Dann gilt [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] k: k = x * r -> k in K
k ist das neutrale Element in dem Körper also 1. x ist demnach das inverse Element.
Warum weiß ich dann dass automatisch ganz K drinnenliegen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Ist $I$ ein Ideal in $K$ und gilt: $1 [mm] \in [/mm] I$, dann gilt auch:
$x = x [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \in [/mm] I$
für alle $x [mm] \in [/mm] K$, da für ein Ideal $I$ eines kommutativen Ringes $R$ (um Links- und Rechtsideale nicht unterscheiden zu müssen  ) allgemein gilt:
$r [mm] \in [/mm] R, i [mm] \in [/mm] I [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] r [mm] \cdot [/mm] i [mm] \in [/mm] I$.
Liebe Grüße
Stefan
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