min, max einer stetigen Fkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie den minimalen und den maximalen Wert der stetigen Funktion
[mm] f(x,y,z)=xy+z^2 [/mm] auf der kompakten Menge [mm] {(x,y,z):x^2+2y^2+3z^2=4} [/mm] und geben Sie an, in welchen Punkten das Maximum und das Minimum angenommen wird. |
Hallo,
irgendwie weiß ich nicht so recht, was ich mit der Aufgabe anfangen soll.
Habe jetzt jeweils die grad von [mm] f(x,y,z)=xy+z^2 [/mm] und [mm] g(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-4 [/mm] gebildet. Dann erhalte ich folgendes.
grad f(x,y,z)=(y,x,2z)
grad g(x,y,z)=(2x,4y,6z)
Damit komm ich auf folgendes:
I. [mm] x^2+2y^2+3z^2-4=0
[/mm]
II. [mm] y+2*\lambda*x=0
[/mm]
III. [mm] x+4*\lambda*y=0
[/mm]
IV. [mm] 2z+6*\lambda*z=0
[/mm]
So, irgendwie komm ich jetzt nicht direkt weiter. Die Beispielaufgabe die ich dazu habe, ist irgendwie einfacher. Was muss ich denn da jetzt weiter machen? Hoffe, jemand hat da Ahnung von. Aber ich bin mir sicher, das sich hier irgendein "Crack" findet ;)
Danke und gruß
Dennis
|
|
| |
|
Hallo inseljohn,
> Berechnen Sie den minimalen und den maximalen Wert der
> stetigen Funktion
> [mm]f(x,y,z)=xy+z^2[/mm] auf der kompakten Menge
> [mm]{(x,y,z):x^2+2y^2+3z^2=4}[/mm] und geben Sie an, in welchen
> Punkten das Maximum und das Minimum angenommen wird.
> Hallo,
> irgendwie weiß ich nicht so recht, was ich mit der
> Aufgabe anfangen soll.
>
> Habe jetzt jeweils die grad von [mm]f(x,y,z)=xy+z^2[/mm] und
> [mm]g(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-4[/mm] gebildet. Dann erhalte ich
> folgendes.
>
> grad f(x,y,z)=(y,x,2z)
> grad g(x,y,z)=(2x,4y,6z)
>
> Damit komm ich auf folgendes:
>
> I. [mm]x^2+2y^2+3z^2-4=0[/mm]
> II. [mm]y+2*\lambda*x=0[/mm]
> III. [mm]x+4*\lambda*y=0[/mm]
> IV. [mm]2z+6*\lambda*z=0[/mm]
>
> So, irgendwie komm ich jetzt nicht direkt weiter. Die
> Beispielaufgabe die ich dazu habe, ist irgendwie einfacher.
> Was muss ich denn da jetzt weiter machen? Hoffe, jemand hat
> da Ahnung von. Aber ich bin mir sicher, das sich hier
> irgendein "Crack" findet ;)
Beginne hier z.B. mit den Gleichungen II und III:
[mm]y+2*\lambda*x=0 \Rightarrow y= \ ...[/mm]
Dieses y setzt Du nun in die Gleichung
[mm]x+4*\lambda*y=0[/mm]
ein.
Daraus erhältst Du eine Gleichung, aus
der Du zwei Fälle ableiten kannst.
>
> Danke und gruß
> Dennis
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hey MathePower... (bald muss ich dir ja schon geld als pers. Nachhilfelehrer überweisen) ;)
Was meinst du jetzt mit "zwei Fälle ableiten".
Hab das jetzt so gemacht wie du gesagt hast und habe dort für
III* [mm] x+4*\lambda*(-2*\lambda*x)
[/mm]
Weiß aber trotzdem nicht wirklich weiter bei der ganzen Sache. Sorry, für meine Unwissenheit ;)
|
|
|
| |
|
Hallo inseljohn,
> Hey MathePower... (bald muss ich dir ja schon geld als
> pers. Nachhilfelehrer überweisen) ;)
>
> Was meinst du jetzt mit "zwei Fälle ableiten".
Nun,. setze die Gleichung II in III ein,
und Du erhältst eine Gleichung der Form
[mm]a*b=0[/mm]
Aus dem Satz vom Nullprodukt, der besagt, daß ein Produkt 0 wird,
wenn einer der Faktoren Null wird, ergeben sich dann 2 Fälle:
i) a=0
ii) b=0
Die Fälle i) und. ii) sind dann, jeder für sich, weiterbehandeln.
>
> Hab das jetzt so gemacht wie du gesagt hast und habe dort
> für
> III* [mm]x+4*\lambda*(-2*\lambda*x)[/mm]
>
> Weiß aber trotzdem nicht wirklich weiter bei der ganzen
> Sache. Sorry, für meine Unwissenheit ;)
Gruss
MathePower
|
|
|
|
