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minimale Ellipse über Rechteck.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:07 Di 03.08.2004
Autor: ratz

Hallo,

ich hätte da mal ne Frage zu einem Minimal Problem:

Und zwar hab ich ein vorgegebenes Rechteck mit den zwei längen a und b und möchte jetzt in die Ecken eine Ellipse legen. Da gibt s soweit ja viele Möglichkeiten. Kann man irgendwie die kleinste ellipse berechnen die das Rechteck vorgibt ?

[Dateianhang nicht öffentlich]

so ungefähr sieht das wohl aus.

lg steffi

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
        
Bezug
minimale Ellipse über Rechteck.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Di 03.08.2004
Autor: Hanno

Hi Steffi.
Seien [mm]b,h\in\IR[/mm] die Seitenlängen des Rechteckes und o.B.d.A. der Mittelpunkt von Ellipse und Rechteck der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems. Das Weiteren seien [mm]a,b\in\IR[/mm] Haupt- bzw. Nebenachse der Ellipse.
Wir wollen nun eine Funktion finden, welche aus der Nebenachse als Veränderliche den Flächeninhalt der Ellipse zurückgibt. Diese Funktion sei [mm]A(b)[/mm].
Die elliptische Gleichung lautet bekanntlich [mm]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/mm] - [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] bezeichnen hier die halben Seitenlängen des Rechteckes, [mm]a,b[/mm] die Haupt- bzw. Nebenachse. Da die Nebenachse [mm]b[/mm] als Veränderliche der Funktion übergeben wird, können wir [mm]a[/mm] als einzige Unbekannte errechnen:
[mm]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/mm]
[mm]\gdw \frac{x^2}{a^2}=1-\frac{y^2}{b^2}[/mm]
[mm]\gdw \sqrt{\frac{x^2}{1-\frac{y^2}{b^2}}}=a[/mm]
Daher gilt für die Funktion [mm]A(b)[/mm] (als Folgerung der Flächenfunktion [mm]A=\pi\cdot a\cdot b[/mm] der Ellipse):
[mm]A(b)=\pi\cdot\sqrt{\frac{x^2}{1-\frac{y^2}{b^2}}}\cdot b[/mm]
Bevor wir diese ableiten, vereinfachen wir den Wurzelausdruck noch ein wenig:
[mm]= \sqrt{\frac{x^2}{1-\frac{y^2}{b^2}}}[/mm]
[mm]= \sqrt{\frac{x^2}{\frac{b^2}{b^2}-\frac{y^2}{b^2}}}[/mm]
[mm]= \sqrt{\frac{x^2}{\frac{b^2-y^2}{b^2}}}[/mm]
[mm]= \sqrt{\frac{b^2\cdot x^2}{b^2-y^2}}[/mm]
[mm]= x\cdot b\cdot(b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}[/mm]
Daraus folgt die weniger komplexe Darstellung für [mm]A(b)[/mm]:
[mm]A(b)=\pi\cdot x\cdot b^2\cdot (b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}[/mm]
Nun leiten wir ab:
[mm]A'(b)=\frac{d}{db}\left(\pi\cdot x\cdot b^2\cdot (b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}\right)=\pi\cdot x\cdot \left(2b(b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}+b^2\cdot (-b(b^2-y^2)^{-\frac{3}{2}}))\right)[/mm]
[mm]=\pi\cdot x\cdot\left(2b(b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}-b^3\cdot(b^2-y^2)^{-\frac{3}{2}}\right)[/mm]
Zum Berechnen der Extrema setzen wir die Ableitung gleich Null:
[mm]A'(b)=\pi\cdot x\cdot\left(2b(b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}-b^3\cdot(b^2-y^2)^{-\frac{3}{2}}\right)=0[/mm]
[mm]\gdw 2(b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}-b^2\cdot(b^2-y^2)^{-\frac{3}{2}}=0[/mm]
[mm]\gdw 2-\frac{b^2}{b^2-y^2}=0[/mm]
[mm]\gdw 2b^2-2y^2-b^2=0[/mm]
[mm]\gdw b^2-2y^2=0[/mm]
[mm]\gdw b=\pm\sqrt{2}\cdot y[/mm]

Ich möchte hier erstmal pausieren und euch schauen lassen, denn falls ein Fehler in dieser Rechnung ist, muss ich ja nicht mehr weiterrechnen. Soweit müsste es mmN allerdings stimmen.

Also, erst Kontrolle bis hierhin ;-)

Gruß,
Hanno

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Bezug
minimale Ellipse über Rechteck.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:37 Di 03.08.2004
Autor: ratz

ok, soweit verstanden und ich hab s auch nachgerechnet, ich denke mal das stimmt soweit.

jetzt hab ich also mein b für die ellipse,
damit hab ich ja dann auch a.    Ist das dann schon die Lösung ?

ich setze dieses b und das dazugehörige a in meine Ellipsengleichung ein und dann hab ich die minimale ellipse ?

lg steffi

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Bezug
minimale Ellipse über Rechteck.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Di 03.08.2004
Autor: Hanno

Hi Steffi.
Ja, das ist so richtig. Bedenke allerdings, dass mit y nur die halbe Seitenlänge gemeint ist. Das Extrema muss das Minimum sein, da man b ja nach belieben vergrößern und somit einen beliebig großen Flächeninhalt erzeugen kann.

Dann wär die Aufgabe gelöst :-)

Gruß,
Hanno

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minimale Ellipse über Rechteck.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Di 03.08.2004
Autor: ratz

ok. nochmal für mich zum verständnis:

ich hab ein Rechteck mit länge 6 und höhe 4

wenn ich jetzt die minimale Ellipse hierfür möchte berechne ich
aus der gleichung

[mm]b = \pm \wurzel{2}*y [/mm]   und y = 2  !?!

und

[mm]a = \wurzel{x^2/(1-y^2/b^2)} [/mm]     mit y = 2 und x = 3

a und b sind dann die parameter für meine Ellipsengleichung

hab ich das richtig verstanden ??

lg steffi



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minimale Ellipse über Rechteck.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Di 03.08.2004
Autor: Hanno

Hi Steffi.
Ja, ich denk schon, dass das so richtig ist!

Gruß,
Hanno

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minimale Ellipse über Rechteck.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:51 Di 03.08.2004
Autor: Christian

Hallo.

Hmmm....
Vielleicht hab ich ja was falsch verstanden, aber wie kann denn b gleichzeitig Haupt- (oder Nebenachse, is ja wurscht) der Ellipse und Seite des Rechtecks sein?
Damit läge die Ellipse ja teilweise im Rechteck, was aber nicht der Aufgabenstellung entspricht.

Gruß
Christian

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Bezug
minimale Ellipse über Rechteck.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:09 Di 03.08.2004
Autor: Hanno

Hi Christian.
Nein, b ist nur die Nebenachse. a errechnet sich jedoch problemlos, wenn wir die anderen 3 Größen der elliptischen Gleichung kennen. Dadurch fällt a vorerst weg und wir können die Funktion mit einer Veränderlichen leicht ableiten und die Extrema finden.

a und b habe ich die Achsen genannt. x und y sind in der Gleichung die halben Seitenlängen, da ich o.B.d.A. den Ursprung des kart. Koordinatensystemes in die Mitte des Rechteckes gesetzt habe.

Nun klar oder habe ich mich irgendwo verzettelt?

Gruß,
Hanno

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minimale Ellipse über Rechteck.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Di 03.08.2004
Autor: Christian

Hallo.

Ja, hast Du leider, Hanno.
Denn Du hast meiner Ansicht nach nirgendwo berücksichtigt, daß die Ecken des Rechtecks auf der Ellipse liegen müssen.
Ich schreibe gerade meine Lösung hin, damit das deutlicher wird, was ich meine...

Gruß,
Christian

Bezug
                                                                        
Bezug
minimale Ellipse über Rechteck.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 Di 03.08.2004
Autor: Hanno

Hi Christian.
Diene lösung ist nichts anderes als meine auch. Ich habe eben nicht zu Beginn
die halbe Seitenlänge substituiert, sondern erst zum Schluss. Dann kommt das selber raus.

*handshake*

Gruß,
Hanno

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minimale Ellipse über Rechteck.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 Di 03.08.2004
Autor: Christian

Hi.
*sichandenkopfhauwiebescheuerterdochwar*

Ja, natürlich.
Sorry.
Naja, wenigstens hab ich bei dem Spaß nochmal Extremwertaufgaben geübt...*g*

Gruß,
Christian

Bezug
                                                                                        
Bezug
minimale Ellipse über Rechteck.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:12 Di 03.08.2004
Autor: Hanno

Hiho Christian.
Genau, sieh's einfach positiv ;)

Gruß,
Hanno

Bezug
        
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minimale Ellipse über Rechteck.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Di 03.08.2004
Autor: Christian

Hallo allerseits!

Meiner Meinung nach müßte es so aussehen:

Seien a und b [mm]\in \IR^+[/mm] die Seiten des Rechtecks, so eingebettet in das KS wie Hanno es beschrieben hat.
Seien weiterhin c und z die Haupt-bzw. Nebenachse der Ellipse.

Dann gilt für die Ellipse:
[mm]E: \bruch{x^2} {c^2}+\bruch{y^2} {z^2}=1[/mm]

Des Weiteren müssen die Eckpunkte der Ellipse die Ellipsengleichung erfüllen, wobei es ausreicht, daß einer dies tut:
[mm](\bruch{a} {2}|\bruch{b} {2}) \in E[/mm]
=>
[mm]\bruch{a^2} {4c^2}+\bruch{b^2} {4z^2}=1[/mm]
und damit für die Hauptachse der Ellipse:

[mm]c= \bruch{az} {\wurzel{4z^2-b^2}}[/mm]

Dies setzt man nun in die Formel für den Flächeninhalt der Ellipse ein, bildet, die Ableitung (nach z), setzt diese gleich 0 und schon erhält man den Wert für z, für den der Flächeninhalt minimal wird. Diesen setzt man in die Formel für c ein und schon hat man’s.

[mm]A(z)=\pi*c*z=\bruch{\pi*a*z^2} {\wurzel{4z^2-b^2}} [/mm]

Jetzt leiten wir ab,
[mm]A'(z)=\bruch{2\pi*a*z*(2z^2-b^2)} {(4z^2-b^2)^{\bruch{3} {2}}} [/mm]

setzen A'(z)=0, lösen nach z auf und erhalten (in meinem Falle aufgrund Zeitmangels mit Hilfe von Derive)

[mm]z=\bruch{\wurzel{2}} {2}*b[/mm]

als einzig sinnvolle Lösung.
Dies setzen wir ein in die Formel für c und erhalten

[mm]c=\bruch{\wurzel{2}} {2}*a[/mm].

Das wärs dann meiner Auffassung nach auch schon.

Gruß,
Christian





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minimale Ellipse über Rechteck.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:57 Di 03.08.2004
Autor: ratz

vielen dank euch beiden, mittlerweile hab ich das auch voll  und ganz verstanden.

lg steffi

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minimale Ellipse über Rechteck.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:52 Mo 23.02.2009
Autor: rolando

Wie kann ich das obige Problem lösen wenn ich einen fest vorgeschriebenen Exzentriztäts-Faktor habe? d.H. wenn ich ein festes Verhältnis zwischen a und b habe?

Bezug
                
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minimale Ellipse über Rechteck.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Do 26.02.2009
Autor: matux

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