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Forum "Integralrechnung" - minimale Fläche
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minimale Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Mo 22.09.2008
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Bestimmen Sie den Inhalt A der Fläche ,welche über demIntervall [0;10] zwischen dem Graphen der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{64}(ax-8)^{2} [/mm]  (a>0) und der x-Achse liegt,in Abhängigkeit von a.Untersuchen Sie anschließend,für welchen Wert des Parameters a der Inhalt A minimla wird.

Hallo zusammen^^

Ich hab eben die Aufgabe gerchnet,aber wie immer möchte ich sicher gehen ob ich es auch richtig gemacht habe oder nicht.Deswegen wäre es lieb,wenn sich jemand auf Fehlersuche begeben würde.

Zuerst hab ich in f(x) die Klammern aufgelöst und ausmultipliziert,dann hab ich [mm] f(x)=\bruch{1}{64}a^{2}*x^{2}-\bruch{1}{4}ax+1 [/mm]
Stammfunktion: [mm] F(x)=\bruch{1}{192}a^{2}*x^{3}-\bruch{1}{8}a*x^{2}+x. [/mm]
Jetzt muss ich das Integral berechnen:

[mm] \integral_{0}^{10}{f(x) dx} [/mm]

F(10)=5 [mm] \bruch{5}{24}a^{2}-12 \bruch{1}{2}a+10 [/mm]

F(0)=0

Die Fläche hab ich jetzt also,die hängt ja von a ab.Für die minimale Fläche muss ich ja die 1.Ableitung von F(10) bestimmen
F'(10)=10 [mm] \bruch{5}{12}a-12 \bruch{1}{2}=0 [/mm]

a=1,44
stimmt das so?
(Auf das hinreichende Kriterium hab ich hier mal verzichtet).

LG

        
Bezug
minimale Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Mo 22.09.2008
Autor: M.Rex

Hallo

> Bestimmen Sie den Inhalt A der Fläche ,welche über
> demIntervall [0;10] zwischen dem Graphen der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{1}{64}(ax-8)^{2}[/mm]  (a>0) und der x-Achse
> liegt,in Abhängigkeit von a.Untersuchen Sie
> anschließend,für welchen Wert des Parameters a der Inhalt A
> minimla wird.
>  Hallo zusammen^^
>  
> Ich hab eben die Aufgabe gerchnet,aber wie immer möchte ich
> sicher gehen ob ich es auch richtig gemacht habe oder
> nicht.Deswegen wäre es lieb,wenn sich jemand auf
> Fehlersuche begeben würde.
>  
> Zuerst hab ich in f(x) die Klammern aufgelöst und
> ausmultipliziert,dann hab ich
> [mm]f(x)=\bruch{1}{64}a^{2}*x^{2}-\bruch{1}{4}ax+1[/mm]
>  Stammfunktion:
> [mm]F(x)=\bruch{1}{192}a^{2}*x^{3}-\bruch{1}{8}a*x^{2}+x.[/mm]

[daumenhoch]

>  Jetzt muss ich das Integral berechnen:
>  
> [mm]\integral_{0}^{10}{f(x) dx}[/mm]

[ok]

>  
> F(10)=5 [mm]\bruch{5}{24}a^{2}-12 \bruch{1}{2}a+10[/mm]
>  
> F(0)=0

Korrekt

>
> Die Fläche hab ich jetzt also,die hängt ja von a ab.Für die
> minimale Fläche muss ich ja die 1.Ableitung von F(10)
> bestimmen

Hier klappt das, weil F(0)=0, sonst müsstest du dien Term mitberücksichtigen.

>  F'(10)=10 [mm]\bruch{5}{12}a-12 \bruch{1}{2}=0[/mm]

Korrekt

> a=1,44
>  stimmt das so?

Ich komme auf [mm] a=\bruch{6}{5} [/mm]

>  (Auf das hinreichende Kriterium hab ich hier mal
> verzichtet).

Nicht gut. Das ist hier doch hier ein kleiner Satz.

>  
> LG

Marius

Bezug
                
Bezug
minimale Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Mo 22.09.2008
Autor: Mandy_90

Wie bist du denn auf [mm] a=\bruch{6}{5} [/mm] gekommen?

Bezug
                        
Bezug
minimale Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mo 22.09.2008
Autor: M.Rex

Hallo

[mm] 10\bruch{5}{12}a-12\bruch{1}{2}=0 [/mm]
[mm] \gdw \bruch{125}{12}a=\bruch{25}{2} [/mm]
[mm] \gdw a=\bruch{25}{2}*\bruch{12}{125} [/mm]
[mm] =\bruch{25*12}{2*125} [/mm]
[mm] =\bruch{25*2*6}{2*5*25} [/mm]
[mm] =\bruch{6}{5} [/mm]

Marius

Bezug
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