minimaler Abstand < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mi 13.06.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Seien K, L [mm] \in R^n [/mm] disjunkte, kompakte, nichtleere Teilmengen. Zeige, das es Punkte
[mm] x_0 \in [/mm] K und [mm] y_0 \in [/mm] L gibt, die bezüglich der euklidischen Norm den kürzesten Abstand zueinander
haben, d.h. es gilt
[mm] \parallel x_0 [/mm] - [mm] y_0\parallel [/mm] = inf [mm] \{ \parallel x - y\parallel; x \in K, y \in L}. [/mm] |
Hallo, anschaulich ist das klar, ich habe zwei kompakte nichtleere Mengen.
2 Fälle:
1.)
[mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] K [mm] \cap [/mm] L
Tirivial, dann ist inf von oben =0
2.)
[mm] \exists [/mm] kein a [mm] \in [/mm] K [mm] \cap [/mm] L
da aber kompakte Mengen existieren Folgen mit Grenzwerten [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0, [/mm] so dass :
[mm] \parallel x_0 [/mm] - [mm] y_0\parallel =\lim_{n \to \infty} [/mm] inf [mm] \{ \parallel x_n - y_n \parallel; (x_n)_n \in K, (y_n)_n \in L}.
[/mm]
oder geht das auch einfacher, ist dass, was ich mache überhaupt richtig?
MfG
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Mi 13.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
1. ist überflüssig, da K, L disjunkt sind.
2. ist richtig - das ist der Beweis.
Gruß,
dormant
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