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| Aufgabe | An Startpunkt S (Boot) werden Tauben freigelassen um zum Zielpunkt Z zu fliegen.
Dann fliegen diese erst den kürzesten weg über den See und visieren zunächst einen Punkt P auf der Strecke AZ an, um von dort aus geradlinig nach Z zu fliegen.
Es sei nun |AS| = 10 km und |AZ| = 40 km. Der Energieverbrauch pro Kilometer über dem Wasser ist gleich dem 1,2-fachen des entsprechenden Energieverbrauch über dem Land.
Wo muss der Punkt P, wenn die insgesamt benötigte Energie minimiert werden soll?
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Ansätze:
SP²=(AP)² + (AS)²
SP [mm] =\wurzel{(AP)² +100}
[/mm]
Ewasser = 1,2( [mm] \wurzel{(AP)² +100})
[/mm]
Eland = 1,0(40 - AP)
Eg= Ew + El
( PZ=40-AP ; AP= [mm] \wurzel{(SP)² -100}
[/mm]
Ich weiß aber nicht wie ich jetzt weiter machen soll. Egal was ich probier mir fehlt immer wieder ein Wert. Hat jemand ein paar Tipps, wie ich weiter machen kann um eine Gleichung zu finden, damit ich das Minimum ausrechnen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Di 24.02.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, hilfreich wäre eine Skizze, sind neben den beiden Strecken noch Winkel bekannt? Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Di 24.02.2009 | | Autor: | PhillipWi |
Ein Winkel ist leider nicht gegeben. Wie kann man hier denn Skizzen reinstellen?
Skizze der Skizze:
S
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A P Z
Und eine Gerade von S nach P, die gesucht ist
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Hallo, das sieht schwer danach aus, Strecken [mm] \overline{AS} [/mm] und [mm] \overline{AZ} [/mm] bilden einen rechten Winkel, die Taube fliegt also die Strecken [mm] \overline{SP} [/mm] und [mm] \overline{PZ}
[/mm]
(ohne Einheiten)
[mm] \overline{AP}+\overline{PZ}=40 [/mm] also
[mm] \overline{AP}=40-\overline{PZ}
[/mm]
im Dreieck gilt:
[mm] \overline{SP}^{2}=10^{2}+(40-\overline{PZ})^{2}
[/mm]
[mm] \overline{SP}=\wurzel{10^{2}+(40-\overline{PZ})^{2}}
[/mm]
die Taube fliegt also insgesamt:
[mm] \wurzel{10^{2}+(40-\overline{PZ})^{2}}+\overline{PZ}
[/mm]
die Strecke [mm] \overline{SP} [/mm] ist über dem Wasser, jetzt überlege dir was du mit 1,2 machen mußt, dann liegt eine Extremwertbetrachtung an
Steffi
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Die 1,2 werden jetzt mit der Formel für SP multipliziert. Aber wie Leite ich jetzt die Wurzel ab? Die Kettenregel hatten wir noch nicht, also kann das nicht die Lösung sein. Oder gibt es noch eine andere Möglichkeit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Di 24.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ohne Skizze, worauf man sieht, wie lange sie ueber dem See sind kann man nicht mal sagen, ob die angegebene Loesung richtig ist,
Ich versteh z. Bsp nicht warum der See gerade bei P aufhoert.
eine Skizze kannst du einstellen , wenn du (img) 1 (/img) aber mit eckigen Klammern in deinen Text schreibst. wenn du dann senden geschrieben hast kannst du das Bild (jpg oder png) hochladen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Di 24.02.2009 | | Autor: | PhillipWi |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Di 24.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum machst dus nicht, wie ichs gesagt habe?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Di 24.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
nach der Zeichnung verlaeuft SP nicht das ganze Stueck ueber Wasser. Auch ist das nicht der kuerzeste Weg ueber Wasser wie in der Aufgabe steht.
Ist das wirklich die Orginalaufgabe und die OrginalZeichnung?
Wenn SP wirklich ueber Wasser ist kommst du ohne Wurzel nicht aus, und die kann man nur mit Kettenregel diff.
Wenn da nur ne Wurzel stuende kann man sagen, wenn die Wurzel min. ist , dann muss das was drunter steht auch min. sein. aber das hilft hier nicht, weil du wurzel+x hast.
Gruss leduart
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Ich habs jetzt mit der Kettenregel gemacht.
Aber ich hab immer noch ein Problem:
Wenn ich diese Funktion [mm] (1,2\wurzel{100+(40-x)²}+x [/mm] in geogebra eingebe, findet dieser ein anderes min (nämlich 40) ist diese gleichung überhaupt richtig?
Außerdem kann auch mein Ergebnis nicht richtig sein (0,1 irgendwas)
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Hallo,
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich habe die Funktion gezeichnet, rot dargestellt, du erkennst das Minimum an der Stelle x=24,93...., das habe ich auch durch Nullsetzen der 1. Ableitung bekommen, sicherlich hast du zum Zeichnen nicht die korrekte Funktion eingegeben, stelle mal bitte deinen Rechenweg vor, nur so können wir einen Fehler finden, x ist ja gleichbedeutend mit der Strecke [mm] \overline{PZ}, [/mm] Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Mi 25.02.2009 | | Autor: | OberOlmer |
f(x)= 1,2 * [mm] (100+(40-x)²)^{\bruch{1}{2}} [/mm] + x
meine Ableitung:
f'(x)= 1,2 * [mm] \bruch{1}{2} (100+(40-x)²)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] + 1 * (80-2x)
[mm] =\bruch{3 (80-2x)}{5 * 100+1600-x²} [/mm]
[mm] =\bruch{240-6x}{2100-x²}
[/mm]
und wenn ich das jetzt 0 setzte, kommt eine negative Zahl <1 raus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo
[mm] f(x)=1,2*\wurzel{100+(40-x)^{2}}+x
[/mm]
[mm] f(x)=1,2*\wurzel{100+1600-80x+x^{2}}+x
[/mm]
[mm] f(x)=1,2*\wurzel{1700-80x+x^{2}}+x
[/mm]
[mm] f'(x)=1,2*\bruch{-80+2x}{2\wurzel{1700-80x+x^{2}}}+1
[/mm]
[mm] f'(x)=1,2*\bruch{-40+x}{\wurzel{1700-80x+x^{2}}}+1
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{-48+1,2x}{\wurzel{1700-80x+x^{2}}}+1
[/mm]
jetzt gleich Null setzen
[mm] 0=\bruch{-48+1,2x}{\wurzel{1700-80x+x^{2}}}+1
[/mm]
[mm] -1=\bruch{-48+1,2x}{\wurzel{1700-80x+x^{2}}}
[/mm]
jetzt überlege dir, der Bruch hat den Wert -1, also sind Zähler und Nenner betragsmäßig gleich, mit unterschiedliechen Vorzeichen, der Nenner kann durch die wurzel nicht negativ werden, also hat der Zähler ein negatives Vorzeichen
[mm] -(-48+1,2x)=\wurzel{1700-80x+x^{2}}
[/mm]
[mm] 48-1,2x=\wurzel{1700-80x+x^{2}}
[/mm]
[mm] (48-1,2x)^{2}=1700-80x+x^{2}
[/mm]
[mm] 2304-115,2x+1,44x^{2}=1700-80x+x^{2}
[/mm]
[mm] 0,44x^{2}-35,2x+604=0
[/mm]
[mm] x^{2}-80x+1372,7=0
[/mm]
jetzt solltest du [mm] x_1= [/mm] ... und [mm] x_2= [/mm] ... finden, wobei aber nur eine Lösung zur Aufgabe gehört,
Dein Fehler: der Faktor (80-2x) bekommt noch das Vorzeichen minus, also -(80-2x), das Vorzeichen minus entsteht durch die innere Ableitung von -x, weiterhin gehört der Faktor -(80-2x) zum 1. Summanden,
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Mi 25.02.2009 | | Autor: | OberOlmer |
Hat da ein paar Denkfehler. Habs jetzt verstanden. Vielen Dank! Das war aber auch eine schwere Aufgabe, erst recht weil wir die Kettenregel noch nicht hatten
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