minimaler Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Burdy |
| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe, sei M ein minimalter Normalteiler von G.
Zeigen Sie: Wenn M abelsch ist, gilt [mm] M\cong C_{p} \times ...\times C_{p}=C_{p}^{m}, [/mm] wobei p Primzahl, [mm] n\in \IN [/mm] und [mm] C_{p} \cong \IZ /p\IZ [/mm] ist.
Solche Gruppen [mm] C_{p}^{m} [/mm] heißen auch elementar-abelsch. |
Hallo
Ich weiß, dass für abelsche Gruppen A gilt, dass [mm] A\cong C_{i_{1}} \times ...\times C_{i_{k}} [/mm] mit [mm] i_{j} \in \IN [/mm] .
Ich hab zu der Aufgabe den Hinweis, dass ich zeigen soll, dass die [mm] i_{j} [/mm] gerade alle p sein müssen. Und zwar mit der Annahme, das ein [mm] i_{j} [/mm] nicht gleich p ist und dann soll ich einen kleineren Normalteiler finden, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass M minimaler Normalteiler ist.
Ich weiß aber leider nicht, wie ich das anstellen soll.
Wenn ich annehme, dass ein [mm] i_{j}\not= [/mm] p ist, dann hab ich ja als mögliche Untergruppen von M [mm] C_{i_{j}} [/mm] und [mm] C_{p}. [/mm]
[mm] C_{p} [/mm] ist, wenn M die Form in der Aufgabenstellung hat [mm] (C_{p} \times ...\times C_{p} [/mm] ), Normalteiler in M, aber nicht in G. Also muss doch zwangsläufig dann [mm] C_{i_{j}} [/mm] ein Normalteiler von G sein, damit ich zum Widerspruch komme? Aber wie kann ich das einsehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Di 05.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei G eine endliche Gruppe, sei M ein minimalter
> Normalteiler von G.
> Zeigen Sie: Wenn M abelsch ist, gilt [mm]M\cong C_{p} \times ...\times C_{p}=C_{p}^{m},[/mm]
> wobei p Primzahl, [mm]n\in \IN[/mm] und [mm]C_{p} \cong \IZ /p\IZ[/mm] ist.
> Solche Gruppen [mm]C_{p}^{m}[/mm] heißen auch elementar-abelsch.
>
> Ich weiß, dass für abelsche Gruppen A gilt, dass [mm]A\cong C_{i_{1}} \times ...\times C_{i_{k}}[/mm]
> mit [mm]i_{j} \in \IN[/mm] .
> Ich hab zu der Aufgabe den Hinweis, dass ich zeigen soll,
> dass die [mm]i_{j}[/mm] gerade alle p sein müssen. Und zwar mit der
> Annahme, das ein [mm]i_{j}[/mm] nicht gleich p ist und dann soll ich
> einen kleineren Normalteiler finden, im Widerspruch zur
> Voraussetzung, dass M minimaler Normalteiler ist.
Ja.
> Ich weiß aber leider nicht, wie ich das anstellen soll.
> Wenn ich annehme, dass ein [mm]i_{j}\not=[/mm] p ist, dann hab ich
> ja als mögliche Untergruppen von M [mm]C_{i_{j}}[/mm] und [mm]C_{p}.[/mm]
> [mm]C_{p}[/mm] ist, wenn M die Form in der Aufgabenstellung hat
> [mm](C_{p} \times ...\times C_{p}[/mm] ), Normalteiler in M, aber
> nicht in G. Also muss doch zwangsläufig dann [mm]C_{i_{j}}[/mm] ein
> Normalteiler von G sein, damit ich zum Widerspruch komme?
> Aber wie kann ich das einsehen?
Ich versteh grad nur Bahnhof, was du da machen willst.
Gehe doch wie folgt vor:
Du kannst die [mm] $i_j$ [/mm] doch so waehlen, dass [mm] $i_j$ [/mm] ein Teiler von [mm] $i_{j+1}$ [/mm] ist. Sei $p$ ein Primfaktor von [mm] $i_1$. [/mm] Zeige, dass auch [mm] $M^p [/mm] := [mm] \{ m^p \mid m \in M \}$ [/mm] ein Normalteiler von $G$ ist. Da dieser echt kleiner als $M$ ist (warum?) muss [mm] $M^p [/mm] = [mm] \{ e \}$ [/mm] sein, da $M$ minimal ist. Aber daraus folgt [mm] $i_j [/mm] = p$ fuer alle $j$ (warum?).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Burdy |
> Gehe doch wie folgt vor:
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> Du kannst die [mm]i_j[/mm] doch so waehlen, dass [mm]i_j[/mm] ein Teiler von [mm]i_{j+1}[/mm] ist.
So weit ist mir das noch klar.
> Sei [mm]p[/mm] ein Primfaktor von [mm]i_1[/mm]. Zeige, dass auch
> [mm]M^p := \{ m^p \mid m \in M \}[/mm] ein Normalteiler von [mm]G[/mm] ist.
Das leider nicht mehr. Mit welchem Ansatz kann ich denn zeigen, dass [mm] M^p [/mm] auch Normalteiler ist?
> Da dieser echt kleiner als [mm]M[/mm] ist (warum?)
Wenn p Primfaktor von [mm] i_1 [/mm] ist und [mm] i_j [/mm] teilt [mm] i_{j+1}, [/mm] dann ist [mm] i_j=p*k. [/mm]
[mm] \IZ /i_j \IZ [/mm] wird zyklisch erzeugt von einem [mm] z\in \IZ /i_j \IZ [/mm] . Und dann ist [mm] (z^k)^p=e
[/mm]
[mm] M^p [/mm] hat also weniger Element als M, da Elemente zusammenfallen.
> muss [mm]M^p = \{ e \}[/mm] sein, da [mm]M[/mm] minimal ist. Aber daraus folgt [mm]i_j = p[/mm] fuer alle [mm]j[/mm] (warum?).
Wenn [mm] M^p [/mm] = [mm] \{ e \} [/mm] ist, bedeutet das, dass alle [mm] m^p=e [/mm] sind. Es hat also jedes Element Ordnung p und dass erfüllt nur [mm] \IZ /p\IZ
[/mm]
Also ich denke mal, meine Begründungen für die Folgerungen daraus, dass [mm] M^p [/mm] Normalteiler ist, sind richtig. Aber dann bleibt halt noch das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich zeigen soll, dass [mm] M^p [/mm] überhaupt Normalteiler ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Fr 08.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Gehe doch wie folgt vor:
> >
> > Du kannst die [mm]i_j[/mm] doch so waehlen, dass [mm]i_j[/mm] ein Teiler von
> [mm]i_{j+1}[/mm] ist.
> So weit ist mir das noch klar.
>
> > Sei [mm]p[/mm] ein Primfaktor von [mm]i_1[/mm]. Zeige, dass auch
> > [mm]M^p := \{ m^p \mid m \in M \}[/mm] ein Normalteiler von [mm]G[/mm] ist.
> Das leider nicht mehr. Mit welchem Ansatz kann ich denn
> zeigen, dass [mm]M^p[/mm] auch Normalteiler ist?
Sei $u [mm] \in M^p$ [/mm] und $g [mm] \in [/mm] G$. Du musst $g u [mm] g^{-1} \in M^p$ [/mm] zeigen. Dazu schreibe $u = [mm] v^p$ [/mm] mit $v [mm] \in [/mm] M$; kannst du jetzt $g u [mm] g^{-1}$ [/mm] damit umschreiben, z.B. indem du $g v [mm] g^{-1} \in [/mm] M$ verwendest (da $M$ Normalteiler)?
> > Da dieser echt kleiner als [mm]M[/mm] ist (warum?)
>
> Wenn p Primfaktor von [mm]i_1[/mm] ist und [mm]i_j[/mm] teilt [mm]i_{j+1},[/mm] dann
> ist [mm]i_j=p*k.[/mm]
> [mm]\IZ /i_j \IZ[/mm] wird zyklisch erzeugt von einem [mm]z\in \IZ /i_j \IZ[/mm]
> . Und dann ist [mm](z^k)^p=e[/mm]
> [mm]M^p[/mm] hat also weniger Element als M, da Elemente
> zusammenfallen.
Genau.
> > muss [mm]M^p = \{ e \}[/mm] sein, da [mm]M[/mm] minimal ist. Aber daraus
> > folgt [mm]i_j = p[/mm] fuer alle [mm]j[/mm] (warum?).
>
> Wenn [mm]M^p[/mm] = [mm]\{ e \}[/mm] ist, bedeutet das, dass alle [mm]m^p=e[/mm]
> sind. Es hat also jedes Element Ordnung p
... oder Ordnung 1 ...
> und dass erfüllt
> nur [mm]\IZ /p\IZ[/mm]
Genau. Also muessen alle [mm] $i_j [/mm] = p$ sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Burdy |
> Sei [mm]u \in M^p[/mm] und [mm]g \in G[/mm]. Du musst [mm]g u g^{-1} \in M^p[/mm]
> zeigen. Dazu schreibe [mm]u = v^p[/mm] mit [mm]v \in M[/mm]; kannst du jetzt
> [mm]g u g^{-1}[/mm] damit umschreiben, z.B. indem du [mm]g v g^{-1} \in M[/mm]
> verwendest (da [mm]M[/mm] Normalteiler)?
Ok. Also
[mm] v\in [/mm] M [mm] \Rightarrow v^g=v'\in [/mm] M
[mm] v'=v^g=g^{-1}*v*g\gdw [/mm] v*g=g*v'
Dann betrachte ich:
[mm] u^g=(v^p)^g=g^{-1}*v^p*g
[/mm]
[mm] =g^{-1}*v^{p-1}*v*g=g^{-1}*v^{p-1}*g*v'
[/mm]
Das mach ich p mal, dann hab:
[mm] u^g=(v')^p
[/mm]
Und das ist natürlich in [mm] M^p [/mm] und da es für alle [mm] g\in [/mm] G gilt ist [mm] M^p [/mm] auch Normalteiler und die Folgerungen daraus hat ich ja schon.
Vielen Dank, so müsste das jetzt passen.
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