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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Di 22.01.2008 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Könnte mir jemand vielleicht einen Hinweis zu dieser Aufgabe geben?
Sei L:K, [L:K]=2.
Beweise:
a) Ist [mm] charK\not=2, [/mm] so gibt es [mm] a\inL, e\inK [/mm] mit L=K(a), [mm] m_{a}(x)=x^{2}-e.
[/mm]
b) Ist charK=2, so ist entweder für jedes [mm] a\inL\K [/mm] das Minimalpolynom von der Form [mm] m_{a}(x)=x^{2}+e [/mm] , oder es gibt [mm] a\inL [/mm] mit [mm] m_{a}(x)=x^{2}+x+e.
[/mm]
Ich sehe nicht so richtig wie ich an diese Aufgabe rangehen kann und wie genau ich das beweisen kan bzw welche einzelnen Schritte ich zeigen muss...
Vielleicht hat jemand von euch eine Idee? Ihr würdet mir sehr helfen.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Mi 23.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Bobby
> Könnte mir jemand vielleicht einen Hinweis zu dieser
> Aufgabe geben?
>
> Sei L:K, [L:K]=2.
> Beweise:
> a) Ist [mm]charK\not=2,[/mm] so gibt es [mm]a\inL, e\inK[/mm] mit L=K(a),
> [mm]m_{a}(x)=x^{2}-e.[/mm]
Waehle irgendein $a [mm] \in [/mm] L [mm] \setminus [/mm] K$. Dann ist $L = K(a + t)$ fuer jedes $t [mm] \in [/mm] K$. Wenn jetzt das Minimalpolynom von $a$ durch [mm] $x^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] x + [mm] \mu$ [/mm] mit [mm] $\lambda, \mu \in [/mm] K$ gegeben ist, wie sieht das Minimalpolynom von $a + t$ aus? Wie musst du $t$ waehlen, damit es von der Form [mm] $x^2 [/mm] - e$ ist?
> b) Ist charK=2, so ist entweder für jedes [mm]a\inL\K[/mm] das
> Minimalpolynom von der Form [mm]m_{a}(x)=x^{2}+e[/mm] , oder es gibt
> [mm]a\inL[/mm] mit [mm]m_{a}(x)=x^{2}+x+e.[/mm]
Also entweder sind sie alle von der Form, oder es gibt ein $a [mm] \in [/mm] L [mm] \setminus [/mm] K$ mit [mm] $m_a [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] x + [mm] \mu$ [/mm] mit [mm] $\lambda, \mu \in [/mm] K [mm] \setminus \{ 0 \}$. [/mm] Wenn du $a$ durch $s a + t$ ersetzt mit $s [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] und $t [mm] \in [/mm] K$, was passiert dann mit dem Minimalpolynom?
LG Felix
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