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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Sa 24.11.2012 | | Autor: | drossel |
Sei [mm] f(X)=X^2+pX+q \in [/mm] K[X] irreduzibel, L=K[X]/(f) Körper und [mm] y=a+bx\in [/mm] L, wobei [mm] a,b\in [/mm] K. Wie kann man hier das Minimalpolynom von [mm] y\in [/mm] L berechnen?
Ich hab leider schon Schwierigkeiten einen Ansatz zu finden.
Kann man von vornherein sagen, welchen Grad das Minimalpolynom [mm] m_y [/mm] von y haben muss ? Es muss aber schonmal [mm] grad(m_y)\ge [/mm] 1 denke ich.
Ich poste mal den Versuch der mich zu nichts geführt hat ( damit ich zeigen kann, dass ich mir wirklich selbst Gedanken gemacht habe): Mein Versuch bisher :
[mm] m_y(y)=0 [/mm] in L, dh. [mm] m_y(y)=X^2+pX+q [/mm] (ist ja 0 in L) und dann hab ich falls das Min.pol. ein Polynom von Grad 1 ist, also [mm] m_y=x+t [/mm] , t [mm] \in [/mm] K
[mm] m_y(y)=0 [/mm] <=> [mm] X^2+(p-b)X+(q-t-a)=0 [/mm] das bringt aber nichts irgendwie..
(zb für's ausrechnen was t ist)
Sonst hab ich leider keine Idee. Kann mir da jemand einen Tipp/einen Anstubser geben? Wäre sehr dankbar!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 So 25.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]f(X)=X^2+pX+q \in[/mm] K[X] irreduzibel, L=K[X]/(f) Körper
> und [mm]y=a+bx\in[/mm] L, wobei [mm]a,b\in[/mm] K. Wie kann man hier das
> Minimalpolynom von [mm]y\in[/mm] L berechnen?
>
> Ich hab leider schon Schwierigkeiten einen Ansatz zu
> finden.
>
> Kann man von vornherein sagen, welchen Grad das
> Minimalpolynom [mm]m_y[/mm] von y haben muss ? Es muss aber schonmal
> [mm]grad(m_y)\ge[/mm] 1 denke ich.
Wenn $b [mm] \neq [/mm] 0$ ist, ja.
> Ich poste mal den Versuch der mich zu nichts geführt hat
> ( damit ich zeigen kann, dass ich mir wirklich selbst
> Gedanken gemacht habe): Mein Versuch bisher :
> [mm]m_y(y)=0[/mm] in L, dh. [mm]m_y(y)=X^2+pX+q[/mm] (ist ja 0 in L) und
> dann hab ich falls das Min.pol. ein Polynom von Grad 1 ist,
> also [mm]m_y=x+t[/mm] , t [mm]\in[/mm] K
> [mm]m_y(y)=0[/mm] <=> [mm]X^2+(p-b)X+(q-t-a)=0[/mm] das bringt aber nichts
> irgendwie..
> (zb für's ausrechnen was t ist)
> Sonst hab ich leider keine Idee. Kann mir da jemand einen
> Tipp/einen Anstubser geben? Wäre sehr dankbar!
Nun, es ist doch $f(x) = 0$. Wenn $a [mm] \neq [/mm] 0$ ist, dann ist $0 = f(x) = [mm] f(a^{-1} [/mm] (a x + b) - [mm] a^{-1} [/mm] b) = (f [mm] \circ [/mm] g)(x)$ mit $g = [mm] a^{-1} [/mm] a T - [mm] a^{-1} [/mm] b [mm] \in [/mm] K[T]$. Wegen $K(a x + b) = K(x)$ muss [mm] $\deg m_y [/mm] = [mm] \deg [/mm] f$ sein, und da [mm] $\deg [/mm] (f [mm] \circ [/mm] g) = [mm] \deg [/mm] f$ ist, muss somit $f [mm] \circ [/mm] g$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms sein.
Ist $a = 0$, so ist $y = b [mm] \in [/mm] K$ und [mm] $m_y [/mm] = T - b [mm] \in [/mm] K[T]$.
LG Felix
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