minimalpolynom bestimmen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 So 08.06.2014 | | Autor: | stuart |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Minimalpolynom von [mm] \sqrt[3]{5} [/mm] + i [mm] \sqrt(2) [/mm] über über [mm] \Bbb Q(\sqrt[3]{5}, [/mm] i [mm] \sqrt(2)) [/mm] |
Guten Tag,
ich muss das Minimalpolynom über mehreren Körpererweiterungen bestimmen. Vielleicht könnt ihr mir beim ersten helfen und dann versuche cih die anderen alleine.
Vielen Dank für eure Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 So 08.06.2014 | | Autor: | hippias |
Verrate doch einmal, wie das Minimalpolynom in deiner Vorlesung definiert wurde. Dann sehen wir schon einmal, wonach du suchen musst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Mo 09.06.2014 | | Autor: | stuart |
Guten Tag,
hier ist unser Skript:
http://www.math.uni-duesseldorf.de/~perrin/ALGEBRA/algebra.pdf
auf Seite 66 findet man die Definition. Ich muss ehrlich eingestehen das ich mich sehr schwer mit der Körpererweiterung tue.
Vielen Dank :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mo 09.06.2014 | | Autor: | hippias |
Danke. Dann liess es dir mal durch und stelle eine Frage zu dem Teil, den du nicht genau verstanden hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mo 09.06.2014 | | Autor: | stuart |
Bitte könnt ihr mir das für das erste Beispiel vormachen. Ich muss morgen meine Hausaufgaben abgeben. Ich würde es dann für die anderen selbst versuchen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:01 Di 10.06.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, du suchst ein Polynom, dass die Zahl [mm] \wurzel[3]{5}+i\sqrt{2} [/mm] auf 0 wirft. Dazu hast du Koeffizienten aus [mm] \IQ(\wurzel[3]{5}, i\sqrt{2})=\{a+b\wurzel[3]{5}+ci\sqrt{2}\:|\:a,b,c\in\IQ\} [/mm] zur Verfügung.
Anderes Beispiel: Bestimme das Minimalpolynom vn $i$ über [mm] $\IQ$. [/mm] Die Antwort wäre hier z.B. [mm] X^2+1, [/mm] da [mm] i^2+1=0 [/mm] und Polynome kleineren Grades leisten das nicht mehr (warum?).
Aber jetzt bestimme mal das Minimalpolynm von $i$ über [mm] $\IQ(i)$. [/mm] Ist es das gleiche wie davor? Und gibt dir das eine Idee für deine eigentliche Aufgabe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Di 10.06.2014 | | Autor: | stuart |
1. kleinere Polynome leisten das nicht mehr, da das i quadriert werden muss.
2. Das Minimalpolynom muesste i*x+1 sein.
3. Das Minimalpolynom zur Aufgabe muesste x - [mm] \sqrt[3]{5} [/mm] - i [mm] \sqrt(2) [/mm] sein.
4. Jetzt muss ich wieder fuer [mm] \sqrt[3]{5} [/mm] + i [mm] \sqrt(2) [/mm] das Minimalpolynom ueber Q und ueber Q( [mm] \sqrt[3]{5} [/mm] ) bestimmen. Ich hab keine Ahnung wie ich das i wegbekommen sol. Vielen Dank fuer die Hilfe das hat mich auf jedenfall schonmal sehr viel weiter gebracht. Ich hoffe ihr koennt mir noch weiter helfen :).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Di 10.06.2014 | | Autor: | stuart |
Sry das ich so kurz schon wieder schreiben. Das Minimalpolynom ueber Q( [mm] \sqrt[3]{5} [/mm] ) habe ich rausbekommen. Ich weiss nur leider nicht bei dem Minimalpolynom ueber Q weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Di 10.06.2014 | | Autor: | Teufel |
Es gibt da einen kleinen Trick, mit dem man immer ganz gut an Minimalpolynome kommt.
Beispiel mit $i$ wieder: Über [mm] $\IQ$:
[/mm]
Setze $a=i$. Daraus folgt [mm] $a^2=-1 \Rightarrow a^2-1=0$, [/mm] also ist $a$ eine Nullstelle von [mm] $X^2-1$.
[/mm]
Etwas schwieriger: Nullstelle von [mm] $\sqrt[3]{2}+i$ [/mm] über [mm] $\IQ$.
[/mm]
Setze wieder [mm] $a=\sqrt[3]{2}+i$. [/mm] Jetzt musst du immer so umformen, dass du alle Wurzel durch Potenzieren verschwinden lassen kannst.
Hier also z.B.: [mm] $a-i=\sqrt[3]{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (a-i)^3=2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow a^3-3ia^2-3a+i-2=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow a^3-3a-2=i(3a^2-1)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (a^3-3a-2)^2=-(3a^2-1)^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (a^3-3a-2)^2+(3a^2-1)^2=0$
[/mm]
Also ist $a$ eine Nullstelle von [mm] (X^3-3X-2)^2+(3X^2-1)^2.
[/mm]
Das Ding ist sogar schon das Minimalpolynom, wie du mit der Gradformel zeigen kannst, wenn ihr die schon hattet, wovon ich aber mal ausgehe. Diese liefert, dass das Minimalpolynom von Grad 6 sein muss, was das obige Polynom auch ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Di 10.06.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
1. Ja.Etwas genauer: Wenn es von Grad 1 wäre, müsste es ja die Form $X-i$ haben (da man immer ein normiertes Polynom als Minimalpolynom nimmt!). Aber $X-i [mm] \notin \IQ$.
[/mm]
2. Siehe oben. Hier nimmt man $X-i$, aber ansonsten ist das schon richtig gewesen!
3. Genau.
4. Was hast du denn rausbeommen?
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