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| Aufgabe | Einem Quadrat [mm] Q_1 [/mm] mit der Seitenlänge 1 wird gemäß Skizze ein Kreis [mm] K_1 [/mm] einbeschrieben, diesem ein näschstes Quadrat [mm] Q_2, [/mm] dann in dieses Quadrat ein Kreis [mm] K_2, [/mm] usw. Berechnen Sie die Summe der Kreisumfänge aller Kreise [mm] K_n [/mm] (n=1,2,3,...), d.h. berechnen Sie [mm] \summe_{n=1}^{\infty}U_n,
[/mm]
wobei [mm] U_n [/mm] den Umfang von [mm] K_n [/mm] bezeichnet.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo Leute!
Hab hier eine Aufgabe aus einer alten Klausur...ich finde die ganz schön Knifflig!
Kann mir mal jemand auf die Sprünge helfen wie sowas zu machen ist?
Ich muss ja sicher irgendwie die Formeln für Quadrat und Umfang vom Kreis irgendwie einbeziehen oder? Und müsste ich da auch einen Winkel mit einbeziehen? (45°)...so könnte ich doch die Kantenlängen der einzelnen Quadrate berechnen....komme nur nicht klar damit, das es ins unendliche geht...die Vorstellungskraft mal wieder... 
Freu mich auf eure Antworten!
Esperanza
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Esperanza!
Im Prinzip brauchst Du hier lediglich den Satz des Pythagoras. Mache Dir mal eine Skizze mit den ersten beiden Kreisen und Quadraten.
Da solltest Du dann sehen, dass zwischen den Radien [mm] $r_2$ [/mm] und [mm] $r_1$ [/mm] der beiden Kreise gemäß Pythagoras folgender Zusammenhang besteht:
[mm] $r_2^2+r_2^2 [/mm] \ = \ [mm] r_1^2$ $\Rightarrow$ $r_2 [/mm] \ = \ [mm] r_1*\bruch{1}{\wurzel{2}}$
[/mm]
Diese Bezeihung gilt nun auch allgemein für 2 aufeinanderfolgende Radien:
[mm] $r_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] r_n*\bruch{1}{\wurzel{2}}$
[/mm]
Die Radien [mm] $r_i$ [/mm] beschreiben also eine geometrische Folge deren Reihensumme auch bekannt sein sollte ...
Gruß vom
Roadrunner
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