mit mittelwertsatz beweisen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Do 02.12.2004 | | Autor: | beni |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo, ich hab da ein bsp, bei dem ich nicht die geringste ahnung habe, wie ich es angehen soll:
Beweisen Sie die Ungleichungen mit Hilfe des Mittelwertsatzes:
/bruch{x}{1+x}<ln(1+x)<x (x>-1, [mm] x\not=
[/mm]
mit mittelwertsatz ist der mittelwertsatz der differentialrechnung dh der mittelwertsatz der differntialrechnung von lagrange
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Do 02.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo beni!
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein [mm] $\xi \in [/mm] (x,0)$ (falls $x<0$) bzw. ein [mm] $\xi \in [/mm] (0,x)$ (falls $x>0$) mit
[mm] $\ln(1+x) [/mm] = [mm] \ln(1+x)- \underbrace{\ln(1+0)}_{=\, 0} [/mm] = [mm] \frac{1}{1+\xi} \cdot [/mm] x$.
Schätze nun [mm] $\frac{1}{1+\xi} \cdot [/mm] x$ nach oben und unten ab und unterscheide dabei sorgsam die Fälle $x<0$ und $x>0$!
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Fr 03.12.2004 | | Autor: | beni |
klingt zwar blöd, aber was heist das genau?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Fr 03.12.2004 | | Autor: | zwerg |
Tach beni!
Vielleicht hilft dir eine andere Schreibweise des Mittelwertsatzes weiter.
Ist f auf [a,b]stetig, dann nimmt f auf [a,b] jeden Wert zwischen A,B ,mit
A=f(a),B=f(b), an. Also f[a,b]=[A,B].
oder
Ist f auf [a,b] stetig mit f(a)*f(b)<0, dann existiert ein p in [a,b9 mit f(p)=0.
oder (*) (von Julius benutzt)
Ist f auf [a,b] stetig und auf ]a,b[ differenzierbar, so gibt es mindestens einen Punkt [mm] \xi [/mm] in ]a,b[ an dem:
[mm] f'(\xi)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] also
[mm] f'(\xi)(b-a)=f(b)-f(a)
[/mm]
ist.
wenn du nun die Intervalle ]0,x[ bzw. ]x,0[ betrachtest, kommst du auf die Aussage von Julius.
MfG zwerg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zwerg,
> Vielleicht hilft dir eine andere Schreibweise des
> Mittelwertsatzes weiter.
>
> Ist f auf [a,b]stetig, dann nimmt f auf [a,b] jeden Wert
> zwischen A,B ,mit
> A=f(a),B=f(b), an. Also f[a,b]=[A,B].
> oder
> Ist f auf [a,b] stetig mit f(a)*f(b)<0, dann existiert ein
> p in [a,b9 mit f(p)=0.
Das ist aber doch der Zwischenwertsatz und nicht der Mittelwertsatz!?
Viele Grüße,
Marc
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