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Hallo
ich versuche folgende Aufgabenstellung zu lösen:
"Zeigen Sie: Wenn p eine Primzahl ist, so hat die Gleichung [mm] x^2=1 [/mm] (mod p) nur die Lösungen x = 1 (mod p) und x = -1 (mod p) (Tipp: [mm] x^2 [/mm] - 1 = (x - 1)(x + 1))".
Ich fange an mit:
[mm] x^2 [/mm] = 1 + kp mit k [mm] \in \IZ
[/mm]
Das für mich nach Umformung zu
(x - 1)(x + 1) = kp
Wenn ich jetzt hier für x die Werte 1 oder -1 einsetze, dann lande ich bei
0 = kp
Was auch immer mir das sagen will ...
Ich kann auch umformen zu
[mm] \bruch{x - 1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{p}{x + 1}
[/mm]
bzw
[mm] \bruch{x + 1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{p}{x - 1}
[/mm]
Dann wird zumindest mal klar, dass der Nenner auf der rechten Seite nur 1 oder -1 sein kann; schließlich handelt es sich bei p um eine Primzahl. Aber was will mir das sagen? Angenommen ich setze x := 1 in
[mm] \bruch{x - 1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{p}{x + 1}
[/mm]
Dann erhalte ich letztendlich:
0 = [mm] \bruch{p}{2}.
[/mm]
Setze ich x := -1, dann lande ich bei:
[mm] \bruch{-2}{k} [/mm] = [mm] \bruch{p}{0}
[/mm]
Wenn ich 1 und -1 ein in die andere Formel einsetze, kommt das Gleiche (nur andersrum) raus. Was will mir das alles sagen?
Gruß und Danke,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 So 31.12.2017 | | Autor: | abakus |
> Hallo
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> ich versuche folgende Aufgabenstellung zu lösen:
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> "Zeigen Sie: Wenn p eine Primzahl ist, so hat die Gleichung
> [mm]x^2=1[/mm] (mod p) nur die Lösungen x = 1 (mod p) und x = -1
> (mod p) (Tipp: [mm]x^2[/mm] - 1 = (x - 1)(x + 1))".
>
[mm] $x^2\equiv [/mm] 1mod p$ gilt genau dann, wenn [mm] $x^2-1\equiv [/mm] 0mod p$ bzw. [mm] $(x-1)(x+1)\equiv [/mm] 0 mod p$.
Letzteres bedeutet, dass (x-1)(x+1) durch die Primzahl(!) p teilbar ist.
Das geht nur, wenn (p-1) oder (p+1) durch p teilbar ist.
Übersetze diese Erkenntnis wieder in eine Kongruenzaussage,
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Ich versuche gerade, deinen Ausführungen zu folgen:
> [mm]x^2\equiv 1mod p[/mm] gilt genau dann, wenn [mm]x^2-1\equiv 0mod p[/mm]
> bzw. [mm](x-1)(x+1)\equiv 0 mod p[/mm].
> Letzteres bedeutet, dass
> (x-1)(x+1) durch die Primzahl(!) p teilbar ist.
Soweit komm ich noch mit.
> Das geht nur, wenn (p-1) oder (p+1) durch p teilbar ist.
Wie soll das gehen?
Für welche Primzahl p gilt denn, dass (p-1) oder (p+1) durch p teilbar ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 So 31.12.2017 | | Autor: | abakus |
> Ich versuche gerade, deinen Ausführungen zu folgen:
>
> > [mm]x^2\equiv 1mod p[/mm] gilt genau dann, wenn [mm]x^2-1\equiv 0mod p[/mm]
> > bzw. [mm](x-1)(x+1)\equiv 0 mod p[/mm].
> > Letzteres bedeutet,
> dass
> > (x-1)(x+1) durch die Primzahl(!) p teilbar ist.
>
> Soweit komm ich noch mit.
>
> > Das geht nur, wenn (p-1) oder (p+1) durch p teilbar ist.
>
> Wie soll das gehen?
>
Geht natürlich nicht, dummer Schreibfehler von mir.
Eigentlich meinte ich:
Das geht nur, wenn (x-1) oder (x+1) durch p teilbar ist.
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