monoton fallende Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:33 Mi 03.06.2015 | | Autor: | xarmar |
| Aufgabe | | Sei Ω [mm] \subset \IR^{\IN} [/mm] beschränktes Gebiet mit [mm] C^{\infty}-Rand [/mm] und sei [mm] G(x,y,t)=\summe_{n=1}^{\infty}e^{-\lambda_{n}t}b_{n}(x)b_{n}(y). [/mm] Für g [mm] \in L^{2}( [/mm] Ω ) ist [mm] u(x,t)=\integral_{Ω}^{}{G(x,y,t)g(y)dy}. [/mm] Sei [mm] a:[0,\infty)->[0, \infty) [/mm] mit [mm] a(t)=\parallel [/mm] u(x,t) [mm] \parallel _{L^{2}( Ω )}=(\integral_{ Ω }^{}{|u(x,t)|^{2}dx})^{1/2}. [/mm] Zeigen Sie, dass a monoton fällt. |
Wir wissen, dass [mm] a(0)=\parallel [/mm] g [mm] \parallel _L^{2}( [/mm] Ω ). Ich muss also zeigen, dass für [mm] t_{1} \le t_{2} a(t_{1}) \ge a(t_{2}). [/mm] Für [mm] t_{1}=0 [/mm] und [mm] t_{2}=1 [/mm] ich muss also zeigen, dass [mm] \parallel u(x,1)\parallel_{L^{2}( Ω )} \le \parallel [/mm] g [mm] \parallel_{L^{2}( Ω )}.
[/mm]
So bekomme ich: [mm] \integral_{Ω}^{}{ |\summe_{n=1}^{\infty}e^{-\lambda_{n}t}b_{n}(x)b_{n}(y)g(y)|^{2}dydx} \le \integral_{ Ω }^{}{|g(x)|^{2}dx}. [/mm] Ist es ok bis da? Und was soll ich jetzt weiter machen?
Auf einen Antwort würde ich mich freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Do 04.06.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
was sollen denn die [mm] $b_n$'s [/mm] sein?
Ich hab da ne Vermutung, hätte sie nur gerne bestätigt 
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 Do 04.06.2015 | | Autor: | xarmar |
Hi Gono!
[mm] b_{n} [/mm] ist eine Orthonormalbasis des [mm] L^{2}( [/mm] Ω ) aus Eigenvektoren mit [mm] \lambda_{n} [/mm] Eigenwerte des Laplace Operators mit Dirichlet Randbedingungen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 09.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
