monoton wachsende Fkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:[a,b]\to\IR [/mm] eine monoton wachsende Funktion auf dem Intervall [a,b], (a<b), so dass f([a,b]) = [f(a),f(b)]. Zeigen Sie, dass f stetig auf [a,b] ist. |
Es ist also gegeben, dass f([a,b]) = [f(a),f(b)]
Bedeutet das Intervall [f(a),f(b)] nicht, dass jeder Wert zwischen f(a) und f(b) angenommen wird? Wenn dem so ist, dann ist das doch nichts weiter als der Zwischenwertsatz von Bolzano und somit ist die Funktion f stetig.
Ist das so korrekt? Ich habe das Gefühl, dass ich da etwas unterschlage, oder etwas übersehen habe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
MfG
Doc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Mi 06.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was sagt denn den ZWS von B über die Stetigkeit? Das musst du schon ausführen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Docci |
da die Frage noch nicht beantwortet ist, musste ich jetzt eine neue Frage öffnen, oder kann ich den Status meiner Frage einstellen?
Ja das sollte ich besser mit hinschreiben, danke für den Hinweis.
Also der Zwischenwertsatz von Bolzano lautet:
Ist [mm] f:[a,b]\to\IR [/mm] stetig, dann nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an mindestens einer Stelle [mm] \alpha \in [/mm] [a,b] an
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Mi 06.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich kenn den nicht als den MWS von Bolzano, sondern nur als MWS. Aber ein Satz beinhaltet doch nicht seine Umkehrung?
Du musst also schon was tun,
Du kannst an jede Antwort ne neue Frage anhängen, wenn du sie nicht verstehst, oder weitere Fragen hast. Bitte keine neuen threads.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Mi 06.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bedeutet bei euch monoton streng monoton, oder ist ne Konstante auch monoton?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mi 06.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo leduart,
die Aussage aus der Aufgabenstellung gilt jedenfalls auch für nicht notwendig STRENG monoton wachsende Funktionen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Mi 06.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo tobit
Weiss ich, denk aber der Beweis ist für streng monotone einfacher.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mi 06.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Doc,
der Deutlichkeit halber nochmal:
Der Zwischenwertsatz sagt NICHT:
Wenn [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an mindestens einer Stelle [mm]\alpha \in[/mm] [a,b] annimmt, dann ist [mm]f[/mm] stetig.
Das wäre auch hochgradig falsch. In deiner Argumentation versuchst du jedoch, diese Aussage zu benutzen.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mi 06.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
mein Vorschlag zur Lösung der Aufgabe:
Die linksseitige und rechtsseitige Stetigkeit von f getrennt beweisen (wobei die beiden Beweise völlig analog laufen). Ist dir bekannt, dass daraus die Stetigkeit folgt?
EDIT: In meiner ersten Version war ich etwas voreilig.
Wir sollten weiterhin benutzen, dass es zum Beweis beispielsweise einer linksseitigen Stetigkeit einer beliebigen Funktion [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] im Punkte [mm]x\in[a,b][/mm] genügt, [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x)[/mm] nur für gegen x konvergierende Folgen [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x_n\in[a,x)[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] zu zeigen, die MONOTON WACHSEND sind.
Zum Beweis etwa der linksseitigen Stetigkeit in einem Punkt [mm]x\in[a,b][/mm], nimmst du dir also eine monoton wachsende Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x_n\in[a,x)[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]. Zeige: [mm](f(x_n))_{n\in\IN}[/mm] konvergiert, sagen wir gegen [mm]y\in[f(a),f(b)][/mm]. Dann ist [mm]y=f(x)[/mm] zu zeigen. Eine der beiden Ungleichungen konnte ich direkt zeigen, die andere per Widerspruchsbeweis.
Ich gebe gerne weitere Hinweise, wenn du daran interessiert bist.
Falls jemand einen einfacheren Weg sieht: Nur zu!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Docci |
hi, ich hatte jetzt längere keinen internetzugang. ich möchte mich noch bei euch für die antworten bedanken!
mfg
Doc
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