monotone Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ihr 
ich bin RosaPanther und neu hier
ich habe ein paar Fragen:
es geht um folgende Folgen:
1) [mm] a_n [/mm] := (1+ [mm] \frac{1}{n})^{n}) [/mm]
Zeige: sie ist monoton wachsend
[mm] 2)b_n [/mm] := := (1+ [mm] \frac{1}{n})^{n+1}) [/mm]
Zeige: sie ist monoton fallend
so mein Ansatz:
allgemein gilt ja:
eine Folge ist monoton wachsend, wenn [mm] x_1 \le x_2 [/mm] und [mm] f(x_1) \le f(x_2)
[/mm]
und eine Folge ist monoton fallend, wenn [mm] x_1 \le x_2 [/mm] und [mm] f(x_1) \ge f(x_2)
[/mm]
zu 1) Behauptung:
[mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
(1+ [mm] \frac{1}{n})^{n})< [/mm] (1+ [mm] \frac{1}{n+1})^{n+1})
[/mm]
(1+ [mm] \frac{1}{n})^{n}) [/mm] < (1+ [mm] \frac{1}{n+1})^{n})* [/mm] (1+ [mm] \frac{1}{n+1})
[/mm]
[mm] \frac{(1+ \frac{1}{n})^{n})}{(1+ \frac{1}{n+1})^{n})} [/mm] < (1+ [mm] \frac{1}{n+1})
[/mm]
[mm] (\frac{n+1}{n+2})^{n} [/mm] < [mm] \frac{n+2}{n+1}
[/mm]
[mm] (n+1)^{n+1} \le (n+2)^{n+1}
[/mm]
n+1 < n+2
1 <2
Fragen:
1.stimmt das so?
2. Ich sollte eigentlich auch die Bernoulli Ungleichung zum Beweis benutzen. Wo kann ich sie einbauen? oder wie kann ich mit Hilfe von ihr die Monotonie beweisen ?
3. bei der 2. Folge habe ich leider gar keine Idee. Was könnte ich hier machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Do 05.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo ihr
> ich bin RosaPanther und neu hier
> ich habe ein paar Fragen:
> es geht um folgende Folgen:
> 1) [mm]a_n[/mm] := (1+ [mm]\frac{1}{n})^{n})[/mm]
> Zeige: sie ist monoton wachsend
> [mm]2)b_n[/mm] := := (1+ [mm]\frac{1}{n})^{n+1})[/mm]
> Zeige: sie ist monoton fallend
>
> so mein Ansatz:
> allgemein gilt ja:
> eine Folge ist monoton wachsend, wenn [mm]x_1 \le x_2[/mm] und
> [mm]f(x_1) \le f(x_2)[/mm]
> und eine Folge ist monoton fallend, wenn
> [mm]x_1 \le x_2[/mm] und [mm]f(x_1) \ge f(x_2)[/mm]
> zu 1) Behauptung:
> [mm]a_n[/mm] < [mm]a_{n+1}[/mm]
> (1+ [mm]\frac{1}{n})^{n})<[/mm] (1+ [mm]\frac{1}{n+1})^{n+1})[/mm]
> (1+ [mm]\frac{1}{n})^{n})[/mm] < (1+ [mm]\frac{1}{n+1})^{n})*[/mm] (1+
> [mm]\frac{1}{n+1})[/mm]
> [mm]\frac{(1+ \frac{1}{n})^{n})}{(1+ \frac{1}{n+1})^{n})}[/mm] < (1+ [mm]\frac{1}{n+1})[/mm]
> [mm]\red {(\frac{n+1}{n+2})^{n}}[/mm] < [mm]\frac{n+2}{n+1}[/mm]
beachte:
[mm] $\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}=\frac{(n+1)^2}{n*(n+2)}$
[/mm]
> [mm](n+1)^{n+1} \le (n+2)^{n+1}[/mm]
> n+1 < n+2
> 1 <2
>
> Fragen:
> 1.stimmt das so?
1. Nein.
2. Da stehen nur zusammenhangslose Zeilen - verwende bitte die Symbole
[mm] $\Longrightarrow$ [/mm] oder [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] oder [mm] $\iff$, [/mm] wenn angebracht. Beachte zudem: Aus einer
wahren Aussage ist die Behauptung zu folgern!
Zum Rest wird sicher DieAcht mehr sagen!
P.S. https://matheraum.de/forum/Artikel_ueber_Folgerungsrichtg./t963011
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:25 Do 05.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Hallo ihr
> > ich bin RosaPanther und neu hier
> > ich habe ein paar Fragen:
> > es geht um folgende Folgen:
> > 1) [mm]a_n[/mm] := (1+ [mm]\frac{1}{n})^{n})[/mm]
> > Zeige: sie ist monoton wachsend
> > [mm]2)b_n[/mm] := := (1+ [mm]\frac{1}{n})^{n+1})[/mm]
> > Zeige: sie ist monoton fallend
> >
> > so mein Ansatz:
> > allgemein gilt ja:
> > eine Folge ist monoton wachsend, wenn [mm]x_1 \le x_2[/mm] und
> > [mm]f(x_1) \le f(x_2)[/mm]
> > und eine Folge ist monoton fallend,
> wenn
> > [mm]x_1 \le x_2[/mm] und [mm]f(x_1) \ge f(x_2)[/mm]
>
> Du fängt an mit Folge und schreibt die Monotonie für
> Funktionen auf.
>
> > zu 1) Behauptung:
> > [mm]a_n[/mm] < [mm]a_{n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> > (1+ [mm]\frac{1}{n})^{n})<[/mm] (1+ [mm]\frac{1}{n+1})^{n+1})[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> > (1+ [mm]\frac{1}{n})^{n})[/mm] < (1+ [mm]\frac{1}{n+1})^{n})*[/mm]
> [mm](1+\frac{1}{n+1})[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> > [mm]\frac{(1+ \frac{1}{n})^{n})}{(1+ \frac{1}{n+1})^{n})}<[/mm] (1+
> [mm]\frac{1}{n+1})[/mm]
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Wieso darfst du das aber machen? -> hinschreiben!
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> > [mm](\frac{n+1}{n+2})^{n}[/mm] < [mm]\frac{n+2}{n+1}[/mm]
>
> Die linke Seite musst du mir erkären.
>
> [mm]\frac{(1+ \frac{1}{n})^{n})}{(1+ \frac{1}{n+1})^{n})}=(\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n+2}{n+1}})^n=(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)})^n[/mm]
>
> Weiter?
>
> > [mm](n+1)^{n+1} \le (n+2)^{n+1}[/mm]
> > n+1 < n+2
> > 1 <2
> >
> > Fragen:
> > 1.stimmt das so?
>
> Beim direkter Beweisen musst du darauf achten, dass du
> überall Äquivalenzen hast.
das ist übertrieben: Er muss darauf achten, dass er seine Umformungen so
hinschreiben kann, dass man erkennt [mm] ($B\,$ [/mm] soll die zu beweisende Aussage
sein):
Aussage [mm] $A\,$ [/mm] ist offensichtlich wahr. Es wird der Beweis von
[mm] $A\,$ $\Longrightarrow$ $B\,$
[/mm]
erbracht. (Damit muss dann [mm] $B\,$ [/mm] wahr sein!)
Beispiel: Nehmen wir an, wir wollten
$x+1/x [mm] \;\;>\;\; [/mm] 1$
für alle $x > [mm] 0\,$ [/mm] beweisen. Jetzt rechnet man
$x+1/x [mm] \;\; [/mm] > [mm] \;\; [/mm] 1$
[mm] $\red{\iff}$ $x^2-x+1 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm]
Nun gilt aber sogar für alle $x > [mm] 0\,$
[/mm]
[mm] $(x-1)^2=x^2-2x+1\;\;\ge\;\;0\,.$
[/mm]
Und da auch für alle [mm] $x\,>\,0$ [/mm] gilt
[mm] $x^2-x+1 [/mm] > [mm] x^2-2x+1 \ge 0\,,$
[/mm]
folgt dann die Behauptung.
Also: Die Aussage [mm] $A\,,$ [/mm] von der wir ausgehen, ist die offensichtlich wahre
Aussage
[mm] $(x-1)^2=x^2-2x+1 \;\;\ge \;\;0\,.$
[/mm]
Daraus folgt dann für $x > [mm] 0\,$ [/mm] wegen
[mm] $x^2-x+1 [/mm] > [mm] x^2-2x+1\,,$
[/mm]
dass
[mm] $x^2-x+1 [/mm] > [mm] 0\,$
[/mm]
gilt. Bei den obigen Umformungen, in der Zeile, wo [mm] $\red{\iff}$ [/mm] steht, ist damit
die rechte Seite als wahr erkannt. Durch Verwendung von [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] des
erwähnten [mm] $\iff$'s [/mm] folgt dann die Behauptung.
Das [mm] $\iff$ [/mm] war hier also gar nicht entscheidend, sondern sogar nur das [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] des
[mm] $\iff$!
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:39 Do 05.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Marcel,
Du hast natürlich Recht!
Eigentlich geht man das ganze durch und schreibt dann den Beweis von "hinten nach vorne".
Danke für's Aufpassen!
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
ohje ist das hier alles kompliziert :-(
okay dann versuche ich mich an einem Widerspruchsbeweis
also [mm] a_n [/mm] > [mm] a_{n+1}
[/mm]
also:
> Hallo,
>
> > zu 1) Behauptung:
> > [mm]a_n[/mm] > [mm]a_{n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> > (1+ [mm]\frac{1}{n})^{n})>[/mm] (1+ [mm]\frac{1}{n+1})^{n+1})[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> > (1+ [mm]\frac{1}{n})^{n})[/mm] > (1+ [mm]\frac{1}{n+1})^{n})*[/mm]
> [mm](1+\frac{1}{n+1})[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> > [mm]\frac{(1+ \frac{1}{n})^{n})}{(1+ \frac{1}{n+1})^{n})}>[/mm] (1+
> [mm]\frac{1}{n+1})[/mm]
>
> . Wieso darfst du das aber machen? -> hinschreiben!
wie meinst du das? bzw. Worauf spielst du an?
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\frac{(1+ \frac{1}{n})^{n})}{(1+ \frac{1}{n+1})^{n})}=(\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n+2}{n+1}})^n=(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)})^n[/mm]
>
> Weiter?
[mm] (\frac{(n+1)^2}{n(n+2)})^n [/mm] > [mm] \frac{n+2}{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw ((n+1)^2)^{n}* [/mm] (n+1)= [mm] (n+1)^{2n+1} [/mm] > [mm] (n+2)^{n+1} [/mm] * n
stimmt das bis hierhin? wie kann ich hier weiter umformen?
|
|
|
| |
|
> Vergiss nun, was davor steht!
> Was gilt mit der Bernoullischen Ungleichung für
> [mm](\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}})^n[/mm] ?
> Jetzt denk wieder an das von davor nach!
ich habe ein gutes Beispiel der Darstellung auf dieser Seite gefunden:
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Bruedern-WS0708/VorlForts.pdf
das versteh ich auch alles.Auch den Zusammenhang zu Bernoulli. Allerding versteh ich nicht wie das minus im letzten Term der ersten Seite zustande kommt.. denn bei mir ist:
(1 + [mm] \frac{1}{(n+1)^2} )^{n} \ge [/mm] 1 + [mm] \frac{n}{(n+1)^2} [/mm]
woher kommt den hier das negative Vorzeichen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Magehex |
> (1 + [mm]\frac{1}{(n+1)^2} )^{n} \ge[/mm] 1 - [mm]\frac{n}{(n+1)^2}[/mm]
> woher kommt den hier das negative Vorzeichen?
Bernoulli sagt doch [mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1+nx
Wenn du genau hinsiehst erkennst du, dass [mm] (\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}})^n=(1 [/mm] + [mm]\frac{1}{(n+1)^2} )^{n} \ge[/mm] 1 - [mm]n*\frac{1}{(n+1)^2}[/mm] genau die Bernoulli-Ungleichung ist. Damit ist diese Aussage wahr.
Damit kannst du nun weiter abschätzen
[mm] 1-\bruch{1}{n+2}\ge [/mm] 1 - [mm]n*\frac{1}{(n+1)^2}[/mm]
Ist diese Aussage wahr, so ist die Folge monoton wachsend.
Das negative Vorzeichen ist nur dazu da, die Abschätzung leichter zu machen.
|
|
|
| |
|
Hallo RosaPanther,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> > (1+ [mm]\frac{1}{n})^{n})[/mm] > (1+ [mm]\frac{1}{n+1})^{n})*(1+\frac{1}{n+1})[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm]
> > [mm]\frac{(1+ \frac{1}{n})^{n})}{(1+ \frac{1}{n+1})^{n})}> (1+\frac{1}{n+1})[/mm]
> > . Wieso darfst du das aber machen? -> hinschreiben!
> wie meinst du das? bzw. Worauf spielst du an?
Es geht um die Division durch die Klammer.
Ist diese ungleich Null?
Und ist diese auch positiv oder negativ? Denn bei Division durch einen negativen Term würde sich das Ungleichheitszeichen umdrehen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
