monotonie zeigen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Sa 10.05.2008 | | Autor: | lula |
| Aufgabe | | Zeigen, dass die Folgen xn und yn gegeben durch [mm] x_{1}:=2 [/mm] und [mm] x_{n+1}:=\wurzel{4+x_{n}} [/mm] sowie [mm] y_{n}:=n^n/(e^n*n!) [/mm] monoton sind. |
Leider weiß ich gar nicht, wie ich an die Aufgabe angehen soll bzw. wie genau ich die Monotonie zeigen kann. Ein Versuch: Kann ich sagen, dass [mm] x_{n+1} [/mm] wachsend ist, da ja 4 zu [mm] x_{n} [/mm] addiert wird? [mm] y_n [/mm] müsste auch monoton wachsend sein, weil ja [mm] n^n>=n! [/mm] ist. Ich weiß, dass das wahrscheinlich falsch ist, aber im Moment stehe ich noch voll auf dem Schlauch und bekomme das nicht besser hin...Wäre echt super, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein könnte...
LG, Lula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Sa 10.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein du kannst das nicht einfach sagen, du musst es aus bekannten Gesetzen folgern.
Meist ist es günstig, zuerst zu zeigen, dass die Folge wenigstens nach einer Seite beschränkt ist. und wegen 4+xn>4 folgt [mm] x_{n+1}\ge [/mm] 2 d.h. nach unten beschränkt. jetz denkst du die Folge Wächst monoton, d.h. [mm] x_{n+1}>x_n
[/mm]
dann musst du entweder zeigen : [mm] x_{n+1}-x_n>0 [/mm] oder da ja [mm] x_n>0 [/mm]
[mm] x_{n+1}/x_n>1. [/mm] Dabei kannst du dann eben schon die Beschränktheit also [mm] x_n>2 [/mm] benutzen!
Bei der ersten Folge ist die Differenz erfolgversprechend, bei der zweiten der Quotient!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Di 13.05.2008 | | Autor: | lula |
Hm, danke für die Antwort, leider habe ichs nicht so ganz kapiert... Meine Überlegung war, dass ich [mm] $x_{n+1}\ge x_{n}$ [/mm] mit quadratischer Ergänzung zu [mm] x_{n}\le(\wurzel{17+1})/2 [/mm] umformen und das dann per induktion beweisen kann. Leider bin ich da nun auch hängen geblieben...
Grüße, Lula
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> Hm, danke für die Antwort, leider habe ichs nicht so ganz
> kapiert... Meine Überlegung war, dass ich [mm]x_{n+1}\ge x_{n}[/mm]
> mit quadratischer Ergänzung zu [mm]x_{n}\le(\wurzel{17+1})/2[/mm]
> umformen und das dann per induktion beweisen kann.
Wie wärs mit folgender Überlegung: zunächst ist klar, dass, falls [mm] $x_n\geq [/mm] 2$ ist, auch [mm] $x_{n+1}=\sqrt{4+x_n}\geq [/mm] 2$ ist. Des weiteren erhält man durch Erweitern mit [mm] $\sqrt{x_n+4}+x_n$
[/mm]
[mm]x_{n+1}-x_n = \sqrt{4+x_n}-x_n=\frac{4+x_n-x_n^2}{\sqrt{x_n+4}+x_n}\overset{?}{>}0[/mm]
Nun ist die Frage, ob der Zähler dieses Bruches $>0$ ist: in diesem Falle wäre streng monotones Wachsen der [mm] $x_n$ [/mm] gezeigt.
Die Nullstelle [mm] $\geq [/mm] 2$ des Polynoms [mm] $4+x_n-x_n^2$ [/mm] ist [mm] $\frac{\sqrt{17}+1}{2}\approx [/mm] 2.56$. Zwischen $2$ und dieser Nullstelle nimmt es jedenfalls Werte $>0$ an.
Also ist die Frage, ob wir auch zeigen können, dass nicht nur [mm] $x_n\geq [/mm] 2$ sondern auch [mm] $x_n<\frac{\sqrt{17}+1}{2}$ [/mm] gilt.
Da die Abbildung [mm] $x\mapsto \sqrt{4+x}$ [/mm] jedenfalls streng monoton wachsend ist, folgt aus [mm] $x_n <\frac{\sqrt{17}+1}{2}$, [/mm] dass auch [mm] $x_{n+1} <\sqrt{4+\frac{\sqrt{17}+1}{2}}\red{=}\frac{\sqrt{17}+1}{2}$ [/mm] gilt. Wegen [mm] $x_1<\frac{\sqrt{17}+1}{2}$ [/mm] gilt diese Ungleichung somit für alle [mm] $x_n$ [/mm] ("Induktion") und deshalb ist, aufgrund der obigen Umformung der Differenz [mm] $x_{n+1}-x_n$, [/mm] gezeigt, dass die Folge der [mm] $x_n$ [/mm] streng monoton wachsend ist.
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