µ-Funktion 2 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:28 Fr 12.02.2010 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Sei [mm] k\ge2 [/mm] eine gerade Zahl. Beweisen sie das [mm] \mu_{n}((n-1)^k)=1 [/mm] und [mm] (n\ge3) [/mm] |
Halli Hallo Hallöle :)
Also ich möchte was allgemeines zu diesem Aufgabentypen haben. Wie es gerechnet wird ist mir klar,die 4 Regeln auch aber ich hab ein allgemeines Verständnis-Problem. Was bedeutet denn dieses [mm] \mu [/mm] von irgendetwas?
Vielen Dank!
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> Sei [mm]k\ge2[/mm] eine gerade Zahl. Beweisen sie das
> [mm]\mu_{n}((n-1)^k)=1[/mm] und [mm](n\ge3)[/mm]
> Halli Hallo Hallöle :)
>
> Also ich möchte was allgemeines zu diesem Aufgabentypen
> haben. Wie es gerechnet wird ist mir klar,die 4 Regeln auch
> aber ich hab ein allgemeines Verständnis-Problem. Was
> bedeutet denn dieses [mm]\mu[/mm] von irgendetwas?
Die Erklärung, was mit dem [mm] \mu_{n} [/mm] gemeint sein soll,
sollte eigentlich Bestandteil der Aufgabenstellung sein.
Mir ist nicht bekannt, was damit gemeint sein könnte ...
Wenn du Rechenregeln kennst, gib die doch bitte an -
dann kann man vielleicht auch erraten, was dahinter
steckt.
LG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Fr 12.02.2010 | | Autor: | durden88 |
Ja also ich würde das, klar, mit Induktion machen. Aber ich verstehe nicht was [mm] \mu [/mm] von irgendwas ist....ich verstehs nicht :(
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> Ja also ich würde das, klar, mit Induktion machen. Aber
> ich verstehe nicht was [mm]\mu[/mm] von irgendwas ist....ich
> verstehs nicht :(
... und woher sollen wir es denn wissen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Fr 12.02.2010 | | Autor: | durden88 |
Ich glaub ich verstehe den Witz nicht....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Fr 12.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich glaub ich verstehe den Witz nicht....
Der Witz ist: der einzige, der hier helfen kann, bist du, oder jemand der sich mit deiner Vorlesung auskennt.
Schau mal in euer Skript, wenn das [mm] $\mu_n$ [/mm] nicht in der Aufgabenstellung erwaehnt ist, sollte es dort zu finden sein. Ansonsten nachfragen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Fr 12.02.2010 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Def: Seien [mm] n\ge1 [/mm] und [mm] a\ge [/mm] 0 (natürliche) Zahlen. Dann existieren bestimmte (natürliche) Zahlen q und r<n, sodass a=q*n+r gilt. Im folgenden sitzen wir [mm] \mu(a):=r. \mu [/mm] ist also eine Funktion, deren Definitionsbereich [mm] \IN [/mm] ist und deren Wertebereich die Menge [mm] \IR:= [/mm] {=0,...,n-1} ist. [mm] \mu [/mm] ordnet jeder (natürlichen) Zahl a ihren eindeutigen bestimmten Rest zu, der sich bei der Division von a durch n ergibt. |
ahh ok, entschuldigung :) Super Definition, aber ich habe schwierigkeiten es anzuwenden.
Habe ich zum Beispiel [mm] \mu(n-1)^k [/mm] .Das Ergibt 1. Aber wieso? wenn ich es nun nach Definition mache ist es ja:
n-1=n+r dann wäre das ja -1 , also ...bin was verzweifelt :) DANKE!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Fr 12.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Def: Seien [mm]n\ge1[/mm] und [mm]a\ge[/mm] 0 (natürliche) Zahlen. Dann
> existieren bestimmte (natürliche) Zahlen q und r<n, sodass
> a=q*n+r gilt. Im folgenden sitzen wir [mm]\mu(a):=r. \mu[/mm] ist
> also eine Funktion, deren Definitionsbereich [mm]\IN[/mm] ist und
> deren Wertebereich die Menge [mm]\IR:=[/mm] {=0,...,n-1} ist. [mm]\mu[/mm]
> ordnet jeder (natürlichen) Zahl a ihren eindeutigen
> bestimmten Rest zu, der sich bei der Division von a durch n
> ergibt.
> ahh ok, entschuldigung :) Super Definition, aber ich habe
> schwierigkeiten es anzuwenden.
>
> Habe ich zum Beispiel [mm]\mu(n-1)^k[/mm] .Das Ergibt 1. Aber wieso?
> wenn ich es nun nach Definition mache ist es ja:
> n-1=n+r dann wäre das ja -1 , also ...bin was verzweifelt
> :) DANKE!
>
>
Du solst doch $ [mm] \mu_{n}((n-1)^k)=1 [/mm] $ zeigen für k gerade und k [mm] \ge [/mm] 2 !!
Beispiel: [mm] $(n-1)^2 [/mm] = [mm] n^2+2n+1= [/mm] n(n+2)+1 = nq+1$ mit $q= n+2$
Versuch Dich mal an [mm] (n-1)^4
[/mm]
Tipp für den allg. Fall: binomischer Satz
FRED
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> Def: Seien [mm]n\ge1[/mm] und [mm]a\ge[/mm] 0 (natürliche) Zahlen. Dann
> existieren bestimmte (natürliche) Zahlen q und r<n, sodass
> a=q*n+r gilt. Im folgenden sitzen wir [mm]\mu(a):=r. \mu[/mm] ist
> also eine Funktion, deren Definitionsbereich [mm]\IN[/mm] ist und
> deren Wertebereich die Menge [mm]\IR:=[/mm] {=0,...,n-1} ist. [mm]\mu[/mm]
> ordnet jeder (natürlichen) Zahl a ihren eindeutigen
> bestimmten Rest zu, der sich bei der Division von a durch n
> ergibt.
> ahh ok, entschuldigung :) Super Definition, aber ich habe
> schwierigkeiten es anzuwenden.
>
> Habe ich zum Beispiel [mm]\mu(n-1)^k[/mm] .Das Ergibt 1. Aber wieso?
> wenn ich es nun nach Definition mache ist es ja:
> n-1=n+r dann wäre das ja -1 , also ...bin was verzweifelt
> :) DANKE!
Aha !
Mit anderen Worten ist also einfach [mm] \mu_n(a)=a [/mm] mod n !
In diesem Fall handelt es sich um eine recht einfache Aufgabe.
Zu zeigen ist, dass für gerade Zahlen [mm] k\ge2 [/mm] gilt:
[mm] (n-1)^k [/mm] mod n = 1
Dies ist gleichbedeutend mit [mm] (-1)^k [/mm] mod n = 1 (für gerade k).
Setzt man $\ [mm] k=2\,h\quad (h\in\IN)$ [/mm] , so gilt modulo n:
$\ [mm] (n-1)^k\ [/mm] =\ [mm] (-1)^k\ [/mm] =\ [mm] \left((-1)^2\right)^h\ [/mm] =\ [mm] 1^h\ [/mm] =\ 1$
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Fr 12.02.2010 | | Autor: | durden88 |
Ich weiss nicht so recht was mit Mod gemeint ist. Also diese Funktion gibt mir einfach die Reste von a an, oder?
Ich geh mal die Aufgabe durch, mit Induktion:
[mm] A(0)=\mu ((n-1)^0)=1. [/mm] Also gilt [mm] (n-1)^0, [/mm] soll heißen [mm] \mu((n-1)^0)= \mu(1)=1
[/mm]
[mm] A(k)\Rightarrow [/mm] A(k+2)
[mm] \mu((n-1)^k^+^2) \Rightarrow ((n-1)^k *(n-1)^2) \Rightarrow \mu (\mu (n-1)^k [/mm] * [mm] \mu ((n-1)^2) \Rightarrow \mu [/mm] (1 * [mm] \mu (n^2+2n+1)) \Rightarrow [/mm] .....
Also wieso ist [mm] \mu(n-1)^k [/mm] = 1 , sprich wie krieg ich denn so ein [mm] \mu [/mm] raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Fr 12.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Lesen:
https://matheraum.de/read?i=654645
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Fr 12.02.2010 | | Autor: | durden88 |
AAAAAAAAHHHHHH!!!! Ich muss es also umformen in die Form q*n+r richtig?
Also Beispiel [mm] (n-1)^4 [/mm] = [mm] n(n^3-4n^2+6n-4)+1 [/mm] also Rest (r) ist auch 1!
Allgemein wäre das dann: [mm] (n-1)^k [/mm] = k*q+1 , also immer Rest = 1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Fr 12.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> AAAAAAAAHHHHHH!!!! Ich muss es also umformen in die Form
> q*n+r richtig?
>
> Also Beispiel [mm](n-1)^4[/mm] = [mm]n(n^3-4n^2+6n-4)+1[/mm] also Rest (r)
> ist auch 1!
>
> Allgemein wäre das dann: [mm](n-1)^k[/mm] = k*q+1 , also immer
> Rest = 1 ?
Das sollst Du doch gerade beweisen !
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:55 Fr 12.02.2010 | | Autor: | durden88 |
Hmmm, hab das jetzt so verstanden, was ist denn wenn ich [mm] \mu [/mm] (n+2) habe. Wenn ich das in die Form q*n+r bringen möchte, habe ich n(1+2/n)
Wenn ich das Umstelle bekomm ich für n= 2 auch 2 raus und für n= 3 z.b. 5,4 oder sowas.
In den Lösungen steht aber: 2 falls [mm] n\ge [/mm] 3 und 0 falls n=2 ....kann mir das einer erklären? danke
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Hallo durden88,
> Hmmm, hab das jetzt so verstanden, was ist denn wenn ich
> [mm]\mu[/mm] (n+2) habe. Wenn ich das in die Form q*n+r bringen
> möchte, habe ich n(1+2/n)
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ich habe keinen blassen Schimmer, was du machst oder vorhast ?!
Was willst du mit [mm] $\mu_n(n+2)$ [/mm] ??
Du sollst doch [mm] $\mu_n\left((n-1)^k\right)$ [/mm] betrachen für [mm] $n\ge [/mm] 3$ und [mm] $k\ge [/mm] 2 \ [mm] \text{und gerade}$
[/mm]
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> Wenn ich das Umstelle bekomm ich für n= 2 auch 2 raus und
> für n= 3 z.b. 5,4 oder sowas.
>
> In den Lösungen steht aber: 2 falls [mm]n\ge[/mm] 3 und 0 falls n=2
ich verstehe wieder nicht, was du meinst?!
Sowohl Al Ch. als auch Fred haben dir eine Lösung hingeschrieben...
Ist dir daran was unklar?
Oder was genau ist deine Frage?!
> ....kann mir das einer erklären? danke
Wenn man deine Frage verstünde, evtl ...
Gruß
schachuzipus
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