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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Fr 08.09.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Sei V ein Verktorraum, und seien U und U' Unterräume von V.
Die direkte Summe [mm] U\oplus [/mm] U' ist
(a) immer gleich V
(b) manchmal Isomorph zu V
(c) immer isomorph zu U+U'
(d) nicht immer definiert |
(Frage zuvor nicht gestellt)
hey leute, wir hatte folgende aufgabe in der Klausur
also zu (a) ist nicht immer gleihc V, da die Unterräume ja nicht den kompletten VR V aufspannen müssen
zu (b) dies trifft zu, wenn V komplett disjunkt in U und U' zerfällt
zu (c) also falls die Summe wirklich existiert, dann müsste ja U+U' ja das selbe sein wie [mm] U\oplus [/mm] U' oder?
(d) ja falls die Vektoren die U und U' aufspannen nicht alle zu einander lin.unabh. sind, ist U+U' nicht definiert oder?
aus der Musterlösung kann man erkennen, dass nur antwort (b) zutrifft, jedoch verstehe ich nicht ganz warum dann nicht auch (c) oder (d) zutrifft, denn wenn man davon ausgeht, dass die Summe auf jeden fall eine direkt summe ist, dann ist ja [mm] U\oplus [/mm] U' iso zu U+U' oder?
und falls man davon ausgehen kann, dass [mm] \oplus [/mm] da steht, obwohl die summe nicht direkt ist, ist das [mm] \oplus [/mm] für diesen fall ja nicht definiert
wäre nett, wenn hier einer von euch etwas klarheit schaffen kann.
gruß ari
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Hallo AriR,
> Sei V ein Verktorraum, und seien U und U' Unterräume von
> V.
> Die direkte Summe [mm]U\oplus[/mm] U' ist
> (a) immer gleich V
Nein, zB [mm] V=\|R^3, U=\{(c,0,0)|c\in\IR\}, U'=\{(0,c,0)|c\in\IR\}.
[/mm]
> (b) manchmal Isomorph zu V
Ja, zB V wie oben, U wie oben, [mm] U'=\{(0,a,b)|a,b\in\IR\}
[/mm]
> (c) immer isomorph zu U+U'
> (d) nicht immer definiert
Doch.
> (Frage zuvor nicht gestellt)
>
> hey leute, wir hatte folgende aufgabe in der Klausur
>
> also zu (a) ist nicht immer gleihc V, da die Unterräume ja
> nicht den kompletten VR V aufspannen müssen
>
> zu (b) dies trifft zu, wenn V komplett disjunkt in U und U'
> zerfällt
>
> zu (c) also falls die Summe wirklich existiert, dann müsste
> ja U+U' ja das selbe sein wie [mm]U\oplus[/mm] U' oder?
>
> (d) ja falls die Vektoren die U und U' aufspannen nicht
> alle zu einander lin.unabh. sind, ist U+U' nicht definiert
> oder?
>
>
> aus der Musterlösung kann man erkennen, dass nur antwort
> (b) zutrifft, jedoch verstehe ich nicht ganz warum dann
> nicht auch (c) oder (d) zutrifft, denn wenn man davon
> ausgeht, dass die Summe auf jeden fall eine direkt summe
> ist, dann ist ja [mm]U\oplus[/mm] U' iso zu U+U' oder?
>
[mm] U+U'=\{u+u'|u\in U,u'\in U'\} [/mm] ist immer definiert.
[mm] U\oplus [/mm] U' ist auch immer definiert, und zwar sogar für beliebige Vektorräume U,U' über demselben Körper.
Es ist halt nur nicht immer isomorph zu U+U'.
Gruss,
Mathias
> und falls man davon ausgehen kann, dass [mm]\oplus[/mm] da steht,
> obwohl die summe nicht direkt ist, ist das [mm]\oplus[/mm] für
> diesen fall ja nicht definiert
>
>
> wäre nett, wenn hier einer von euch etwas klarheit schaffen
> kann.
>
> gruß ari
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 08.09.2006 | | Autor: | AriR |
angenommen V wäre der [mm] \IR^3
[/mm]
und U wäre [mm] [/mm] und und U' wäre [mm]
[/mm]
dann dürft man doch nicht [mm] U\oplus [/mm] U' schreiben, weil U und U' nicht diskunkt sind oder? demnach wäre doch [mm] \oplus [/mm] nicht definiert oder verstehte ich dsa mit dem "definiert" falsch?
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Hallo AriR,
ich versteh die Frage, und die Antwort ist: [mm] U\oplus [/mm] U' ist meiner Ansicht nach schon definiert, denn die direkte Summe ist
für je zwei Vektorráume über demselben Körper definiert.
Formal kann man die direkte Summe zB schreiben als
[mm] U\oplus U'=\{(u,1)+(u',2)|u\in U,u'\in U'\} [/mm] mit der Addition
((u,1)+(u',2))+((v,1)+(v',2)):= (u+_Uv,1)+(u'+_{U'}v',2)
Jedoch ist halt in Deinem Beispiel [mm] U\oplus [/mm] U' nicht isomorph zu einem Teilraum des [mm] \IR^3, [/mm] denn [mm] U\oplus [/mm] U' hat Dimension 4 über [mm] \IR, [/mm] und [mm] \IR^3
[/mm]
hat halt nur Dimension 3.
Wennn jedoch Euer Dozent sagt, die direkte Summe sei dann nicht definiert, so halt Dich halt an diese Sprechweise.
Aus meiner Sicht ist die direkte Summe sowas wie ein Funktor (ein zweistelliger) der Kategorie der K-Vektorräume (hier [mm] K=\IR).
[/mm]
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Fr 08.09.2006 | | Autor: | AriR |
ach ist hier die direkte summe gemeint, mit der man einen neuen VR bekommt ??(ich miene die innere direkt summe)
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Hallo AriR,
wenn Ihr sowas hattet wie die innere direkte Summe, dann ist die halt in der Tat nur dann definiert - und dann gleich U+U' -, wenn
[mm] U\cap U'=\{0\} [/mm] gilt.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Fr 08.09.2006 | | Autor: | AriR |
ja die meinte ich dann die ganze zeit.. welche ist denn jetzt genau gemeint, die innere oder die äußere? die äußere scheinbar ne?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:47 So 10.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> ja die meinte ich dann die ganze zeit.. welche ist denn
> jetzt genau gemeint, die innere oder die äußere? die äußere
> scheinbar ne?
Also wenn man davon ausgeht, dass die Antworten stimmen, dann ist es die aeussere direkte Summe.
LG Felix
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Ich würde Mathias nicht ganz zustimmen, was die Sache mit [mm]U \oplus U'[/mm] und [mm]U + U'[/mm] betrifft. Es kommt darauf an, ob man [mm]\oplus[/mm] als innere oder äußere direkte Summe auffaßt. [mm]U \oplus U'[/mm] als innere direkte Summe ist gar nicht immer definiert, denn es könnte ja [mm]U \cap U' \neq 0[/mm] sein. Wenn es aber als innere direkte Summe definiert ist, dann ist es natürlich isomorph, ja sogar gleich, zu [mm]U + U'[/mm] (es gilt ja nur die zusätzliche Bedingung [mm]U \cap U' \neq 0[/mm]). Wenn man dagegen [mm]\oplus[/mm] als äußere direkte Summe auffaßt, dann spielt ja gar keine Rolle, daß [mm]U,U'[/mm] Unterräume von [mm]V[/mm] sind, nur die Vektorraumeigenschaft an sich von [mm]U,U'[/mm] ist von Interesse. Und natürlich kann man dann mit Hilfe des kartesischen Produktes das Coprodukt [mm]U \oplus U'[/mm] definieren, und zwar immer.
Insofern finde ich die Aufgabenstellung auch etwas verwirrend. Es könnte aber sein, daß in eurer Vorlesung [mm]\oplus[/mm] nur im Sinne der äußeren direkten Summe eingeführt wurde. Dann gäbe die Aufgabe Sinn.
siehe auch ![[]](/images/popup.gif) direkte Summe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Fr 08.09.2006 | | Autor: | AriR |
nein wir hatten innere und äußere, ich dachte die ganze zeit es geht um die innere jetzt bin ich aber auch am zweifeln.
es ist glaub ich beides möglich, nur die antworten variieren dann. nach der musterlösung würde ich sagen, dass es sich dann scheinbar um die äußere handelt oder?
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