(n-1)! kongruent 0 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 So 17.06.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | | n>4, keine Primzahl und [mm] \in\IN [/mm] => [mm] (n-1)!\equiv{0} [/mm] (mod n) |
Mein Vorschlag:
1.Fall: [mm] \exists a,b\in\IN, a\not=b [/mm] : n=ab a,b>1
Da [mm] a\not={b} [/mm] => a<n und b<n, beide Faktoren sind also in (n-1)!
2.Fall: [mm] \exists a,b\in\IN, [/mm] a=b : [mm] n=a^2
[/mm]
a>3 weil n>4 => [mm] a^2>2*a
[/mm]
(n-1)! enthält daher die Faktoren: 1*2*3*...*a*...*2a*...*(n-1) und ist somit durch [mm] a^2 [/mm] teilbar.
Fragen: Habe ich nun alle möglichen Fälle betrachtet? Müsste irgendetwas genauer sein?
Gilt bei dem Satz nur die Hinrichtung, oder auch die Rückrichtung ?(wie es zB beim Satz von Wilson der Fall ist)
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Ja das klappt so mit den zwei Fällen.
Im zweiten Fall hast du ja [mm]1
Für die Umkehrung schaut man sich an:
[mm]n\in\IN[/mm] mit [mm](n-1)!\equiv 0 \pmod n[/mm]. Dann gibt es ein [mm] $k
Oder direkt:
Satz von Wilson [mm] $\neg (p\in\IP \gdw (1-p)!\equiv [/mm] -1 [mm] \pmod [/mm] p)$ is äquivalent zu $ [mm] (1-p)!\not\equiv [/mm] -1 [mm] \pmod [/mm] p [mm] \gdw p\not\in\IP \Rightarrow [/mm] p [mm] \in\IN$[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:11 Mo 18.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
Eine kleine Anmerkung:
> [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm](n-1)!\equiv 0 \pmod n[/mm]. Dann gibt es ein [mm]k
> mit [mm](n-1)!=kn\;[/mm]. Jetzt kann man eventuell k kürzen.
ich glaube nicht, dass $k < n$ hier ausreicht 
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Mo 18.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
Habe ich auch nie behauptet
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