n-facher Pol (Laurentreihe) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich arbeite mich gerade in den Residuensatz ein, und stolpere dabei über folgende Frage: Laut meinem Text gilt die Definition "eine Singularität wird n-facher Pol genannt, wenn alle Koeffizienten [mm] a_{k} [/mm] mit k < (-n) der Laurentreihe verschwinden".
Als Beispiel ist angegeben, dass die fkt. [mm] f(z)=1/(z^n) [/mm] im Ursprung einen n-fachen Pol besäße. Soweit alles klar.
Weiter heißt es dann aber, die Fkt. [mm] g(x)=1/(x^2+2) [/mm] einfache Pole bei [mm] \pm [/mm] i [mm] \sqrt{2} [/mm] hat. Und da komme ich nicht mehr mit. Der Nenner ist doch quadratisch, wie soll ich das allein durch [mm] a_{i}(z-c) [/mm] darstellen können?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 So 01.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich arbeite mich gerade in den Residuensatz ein, und
> stolpere dabei über folgende Frage: Laut meinem Text gilt
> die Definition "eine Singularität wird n-facher Pol
> genannt, wenn alle Koeffizienten [mm]a_{k}[/mm] mit k < (-n) der
> Laurentreihe verschwinden".
> Als Beispiel ist angegeben, dass die fkt. [mm]f(z)=1/(z^n)[/mm] im
> Ursprung einen n-fachen Pol besäße. Soweit alles klar.
> Weiter heißt es dann aber, die Fkt. [mm]g(x)=1/(x^2+2)[/mm]
> einfache Pole bei [mm]\pm[/mm] i [mm]\sqrt{2}[/mm] hat. Und da komme ich
> nicht mehr mit. Der Nenner ist doch quadratisch, wie soll
> ich das allein durch [mm]a_{i}(z-c)[/mm] darstellen können?
Was meinst du mit "durch [mm]a_{i}(z-c)[/mm] darstellen"?
Der Nenner ist doch [mm] $(x^2 [/mm] + 2) = (x + i [mm] \sqrt{2}) [/mm] (x - i [mm] \sqrt{2})$.
[/mm]
Nehmen wir $x = i [mm] \sqrt{2}$. [/mm] Die Funktion [mm] $\frac{1}{x + i \sqrt{2}}$ [/mm] kannst du um $x = i [mm] \sqrt{2}$ [/mm] als Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n [/mm] (x - i [mm] \sqrt{2})^n$ [/mm] entwickeln (und es ist [mm] $a_0 \neq [/mm] 0$). Damit ist [mm] $\frac{1}{x^2 + 2} [/mm] = [mm] \sum_{n=-1}^\infty a_{n+1} [/mm] (x - i [mm] \sqrt{2})^n [/mm] = [mm] \sum_{n=-1}^\infty b_n [/mm] (x - i [mm] \sqrt{2})^n$ [/mm] mit [mm] $b_n [/mm] := [mm] a_{n+1}$, [/mm] und [mm] $b_{-1} [/mm] = [mm] a_0 \neq [/mm] 0$: also hat [mm] $\frac{1}{x^2 + 2}$ [/mm] in $i [mm] \sqrt{2}$ [/mm] einen Pol erster Ordnung.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 So 01.11.2009 | | Autor: | Blueplanet |
> Nehmen wir [mm]x = i \sqrt{2}[/mm]. Die Funktion [mm]\frac{1}{x + i \sqrt{2}}[/mm]
> kannst du um [mm]x = i \sqrt{2}[/mm] als Potenzreihe
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n (x - i \sqrt{2})^n[/mm] entwickeln (und es
> ist [mm]a_0 \neq 0[/mm]).
Das verstehe ich nicht. Wie soll das gehen?
Vielleicht sehe ich das Offensichtliche auch einfach deshalb nicht, weil ich bis heute noch nie etwas von Laurentreihen u.dgl. gehört hatte. Ich werde fürs erste mal versuchen, mich weiter in das Thema einzulesen. Gibt es vielleicht eine gute und vor allem leicht verständliche Ressource im Netz dazu?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 So 01.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Nehmen wir [mm]x = i \sqrt{2}[/mm]. Die Funktion [mm]\frac{1}{x + i \sqrt{2}}[/mm]
> > kannst du um [mm]x = i \sqrt{2}[/mm] als Potenzreihe
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n (x - i \sqrt{2})^n[/mm] entwickeln (und es
> > ist [mm]a_0 \neq 0[/mm]).
>
> Das verstehe ich nicht. Wie soll das gehen?
Du kannst es explizit mit der geometrischen Reihe entwickeln: es ist ja [mm] $\frac{1}{x + i \sqrt{2}} [/mm] = [mm] -\frac{1}{i \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{(-x/(i \sqrt{2}) - 1}$; [/mm] setze nun $y := -x / (i [mm] \sqrt{2})$, [/mm] dann steht da Konstante mal [mm] $\frac{1}{y - 1}$.
[/mm]
> Vielleicht sehe ich das Offensichtliche auch einfach
> deshalb nicht, weil ich bis heute noch nie etwas von
> Laurentreihen u.dgl. gehört hatte. Ich werde fürs erste
> mal versuchen, mich weiter in das Thema einzulesen.
Dann solltest du dich wohl etwas mehr einlesen.
> Gibt es vielleicht eine gute und vor allem leicht verständliche
> Ressource im Netz dazu?
Ich habe nie nach einer gesucht und kenne auch keine.
LG Felix
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