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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - n-faches Bernoulli-Experiment
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n-faches Bernoulli-Experiment: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 So 10.07.2011
Autor: dy7

Aufgabe
a) Betrachten Sie ein n-faches Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p =
1/3. Wie groß muss n mindestens sein, damit die relative Häufi gkeit der Erfolge mit
einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 betragsmäßig um nicht mehr als 0,01
von p abweicht? Verwenden Sie hier die Chebychev-Ungleichung!
(Hinweis: Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Erfolge des n-Fachen Bernoulli-
Experiments. Die relative Häufi gkeit der Erfolge ist somit Xn = X / n.

Gesucht wird
das kleinste n für das gilt P(|Xn - p | <  0. 01) > 0. 95)

b) Lösen Sie die Aufgabe erneut für die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 2/3. Benutzen Sie diesmal die Näherung des Satzes von Moivre-Laplace.

Meine Frage hier ist.

Ich habe diese Hinweise zwar gegebn aber ich weiß einfach nicht wie ich auf das n komme.

ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
n-faches Bernoulli-Experiment: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 Mo 11.07.2011
Autor: dormant

Hi,

zunächst mal klar machen was passiert.

Wir nehmen an, dass jeder Versuch [mm] B_i [/mm] ist ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p=1/3 ist.

Die Summe der ersten n Versuche [mm] X_n [/mm] := [mm] \sum_i^n B_{i=1} [/mm] hat somit eine Binomial-Verteilung (googlen!). Das hat einen Mittelwert von pn.

Die relative Häufigkeit (Freqenz, deshalb F) ist definiert als die mittlere Anzahl der Erfolge pro Versuch, d.h. sie ist gegeben durch:

[mm] F_n:= \bruch{\sum_i^n B_i }{n}. [/mm]

Nun hat [mm] F_n [/mm] einen Mittelwert von [mm] \bruch{np}{n}=p [/mm] und eine Standardabweichung von [mm] \wurzel{\bruch{p(1-p)}{n}} [/mm] (nachrechnen!).

Gefragt wird nach dem kleinsten n, s.d.

[mm] \IP(|F_n-p|<0,01)>0,95. [/mm]

Es wird auch auf die Chebishev-Ungleichung hingewiesen. Diese besagt, dass für eine Zufallsvariable Y, deren Erwartungswert (=Mittelwert) [mm] \mu [/mm] ist, und deren Varianz [mm] \sigma^2 [/mm] eindlich ist, Folgendes gilt:

[mm] \IP(|Y-\mu|\ge k\sigma)\le\bruch{1}{k^2} [/mm]

für jede Konstante k.

Mit einer Umformung (nachdenken, machen!) kann man die Chebishev-Ungleichung auch so schreiben:

[mm] \IP(|Y-\mu|1-\bruch{1}{k^2}, [/mm]

was auch die Form ist, die wir brauchen. Einsetzen, ausrechnen.

Grüße,
dormant

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