n-maliger Münzwurf < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine faire Münze wird wiederholt geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im n-ten Wurf
(a) zum ersten mal „Kopf“ fällt?
(b) „Kopf“ und „Zahl“ gleich oft gefallen sind?
(c) genau zweimal „Kopf“ gefallen ist?
(d) mindestens zweimal „Kopf“ gefallen ist? |
Hab schon länger keine Wahrscheinlichkeitsrechnung mehr gemacht und weiss nicht wie ich die Aufgabe angehen soll, das "n-mal" verwirrt mich ein bisschen.
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Hallo King-LA-Gold,
dann fang doch erstmal "kleiner" an...
> Eine faire Münze wird wiederholt geworfen. Wie groß ist
> die Wahrscheinlichkeit, dass im n-ten Wurf
>
> (a) zum ersten mal „Kopf“ fällt?
> (b) „Kopf“ und „Zahl“ gleich oft gefallen sind?
> (c) genau zweimal „Kopf“ gefallen ist?
> (d) mindestens zweimal „Kopf“ gefallen ist?
Das sind eigentlich vier voneinander getrennte Aufgaben. Mal sehen, ob das in der Diskussion hier dann durcheinander geht...
> Hab schon länger keine Wahrscheinlichkeitsrechnung mehr
> gemacht und weiss nicht wie ich die Aufgabe angehen soll,
> das "n-mal" verwirrt mich ein bisschen.
Dann beantworte die Fragen doch erstmal für n=2 und n=3. Für n=1 sind die Aufgaben b,c,d ja noch sinnlos.
Dann überleg Dir für Aufgabe b, für welche n da überhaupt etwas zu bestimmen ist.
Dann versuch mal n=6. Kannst Du diese Ergebnisse verallgemeinern? Letztlich will man ja nicht jedes n einzeln betrachten, sondern eine allgemeingültige Formel erstellen.
Im übrigen gehen wir davon aus, dass Du selbst mit eigenen Ansätzen und Rechnungen kommst, dann helfen wir Dir gern weiter.
Und ein Gruß zu Beginn und/oder zum Ende gehört auch zum Stil dieses Forums.
Viel Erfolg also!
reverend
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Dann erstmal einen wunderschönen guten Morgen ;)
zu a)
n=1: P(A)= 1/2
n=2: P(A)= [mm] (1/2)^2
[/mm]
n=3: P(A)= [mm] (1/2)^3
[/mm]
also P(A)= [mm] (1/2)^n [/mm] ?
zu b)
hier macht es natürlich nur Sinn für gerade ns
hab aber leider kp wie ich hier vorgehen soll
zu c)
n=2: P(C)= [mm] (1/2)^2
[/mm]
n=3: P(C)= [mm] (1/2)^2 [/mm] * 1/2 * 1
n=4: P(C)= [mm] (1/2)^2 [/mm] * [mm] (1/2)^2 [/mm] * 2
also P(C) = [mm] (1/2)^2 [/mm] * [mm] (1/2)^n [/mm] * n ?, wobei ich den Verdacht habe dass man hier noch den Binomialkoeffizient mit reinbringen muss?
zu d)
wird wohl ähnlich wie c) aussehen?
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Moin! 
> Dann erstmal einen wunderschönen guten Morgen ;)
>
> zu a)
> n=1: P(A)= 1/2
> n=2: P(A)= [mm](1/2)^2[/mm]
> n=3: P(A)= [mm](1/2)^3[/mm]
> also P(A)= [mm](1/2)^n[/mm] ?
So ist es.
> zu b)
> hier macht es natürlich nur Sinn für gerade ns
> hab aber leider kp wie ich hier vorgehen soll
Hier würde ich mal über den Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{2k\\k} [/mm] nachdenken, wobei n=2k gesetzt ist.
> zu c)
> n=2: P(C)= [mm](1/2)^2[/mm]
> n=3: P(C)= [mm](1/2)^2[/mm] * 1/2 * 1
> n=4: P(C)= [mm](1/2)^2[/mm] * [mm](1/2)^2[/mm] * 2
> also P(C) = [mm](1/2)^2[/mm] * [mm](1/2)^n[/mm] * n
Woher stammt der letzte Faktor? Wenn der richtig wäre, müsste die Verallgemeinerung übrigens
[mm] P(C)=\left(\bruch{1}{2}\right)^2*\left(\bruch{1}{2}\right)^{\blue{n-2}}*\blue{(n-2)} [/mm] lauten.
Aber...
> wobei ich den
> Verdacht habe dass man hier noch den Binomialkoeffizient
> mit reinbringen muss?
Sehr gute Idee. Welche beiden Würfe zeigen denn die geforderte Seite?
> zu d)
> wird wohl ähnlich wie c) aussehen?
Hier geht man besser über das Gegenereignis, das spart erheblich Arbeit und auch für allgemeines n leichter zu formulieren.
Grüße
reverend
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Stimmt das so:
a)
P(A) = [mm] (1/2)^n
[/mm]
b)
für n ungerade:
P(B) = 0
für n gerade:
P(B) = [mm] \vektor{n \\ n/2} [/mm] * (1/2)
c)
P(C) = [mm] (1/2)^2 [/mm] * (1/2)^(n-2) [mm] \vektor{n\\ 2}
[/mm]
d)
P(D) = 1 - [mm] (1/2)^n [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] * (1/2) * (1/2)^(n+1)
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