n-te Einheitswurzel < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen und skizieren Sie die Lösungen der Gleichnug [mm] z^6 [/mm] - 1 = 0 |
So also nach dem Satz von Moivre:
[mm] z^n [/mm] = [mm] p^n [/mm] ( cos(nφ) + i sin (nφ) ) = 1
jetzt weiß ich aber nicht weiter. Könnte man folgendes sagen:
[mm] p^n [/mm] * cos (nφ) = 1
[mm] p^n [/mm] * sin (nV) = 0
weil ich hinter dem Gleichheitszeichen nur eine reelle Zahl(= Re(z)) stehen habe und kein i(=Im(z))
Zeichnerisch gibt das ganze dann ein Sechseck um den Ursprung im Einheitskreis. Aber ich weiß nicht wie ich auf die Werte komm.
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Also ich versuch mich mal:
[mm] z^6 [/mm] = 1
z = x + iy oder z = r (cos(φ) + i sin(φ) )
r ist der Betrag meiner Kompl Zahl: r = [mm] √(x^2 [/mm] + [mm] y^2)
[/mm]
So nun setz ich meine Zahl z ein: z = 1 + 0i
Meine Frage: Warum ist das so? Weil [mm] z^6 [/mm] = 1 und daher z = 1 bzw. z = 1 + 0i (in algebr. Form)?
Nun kommt die Moivre Form ins Spiel:
Ich setz einfach meine Werte ein:
n= 6
r =1
k = 1, 2, 3, 4, 5
φ = arctan (y/x)
Zum Winkel hab ich noch eine Frage und zwar wie rechne ich den aus? Geht das analog zu meienm Betrag von z, also dass z = 1+ 0i? Und daher arctan(0) = 0?
Wenn ich alle Werte eingesetzt habe, bekomm ich doch nur 5 Lösungen oder? Für k=1, ... , 5. Aber letztendlich soll doch ein 6Eck zeichnerisch entstehen oder? Muss ich noch k=0 einsetzen?
Und vielen Dank für eure Hilfe!
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Hallo bavarian,
> Also ich versuch mich mal:
>
> [mm]z^6[/mm] = 1
>
> z = x + iy oder z = r (cos(φ) + i sin(φ) )
>
> r ist der Betrag meiner Kompl Zahl: r = [mm]√(x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm]
Die komische ASCII-Wurzel wird in LaTeX nicht angezeigt. Verwende \sqrt{} oder hier auch \wurzel{}.
> So nun setz ich meine Zahl z ein: z = 1 + 0i
> Meine Frage: Warum ist das so? Weil [mm]z^6[/mm] = 1 und daher z =
> 1 bzw. z = 1 + 0i (in algebr. Form)?
Nein, es gibt ja 6 verschiedene z, die die Gleichung lösen.
Aber sobald Du eins davon gefunden hast, kannst Du mit Moivre die anderen 5 bestimmen. Und $z=1$ ist ja offensichtlich eine Lösung.
> Nun kommt die Moivre Form ins Spiel:
> Ich setz einfach meine Werte ein:
> n= 6
> r =1
> k = 1, 2, 3, 4, 5
> φ = arctan (y/x)
> Zum Winkel hab ich noch eine Frage und zwar wie rechne ich
> den aus? Geht das analog zu meienm Betrag von z, also dass
> z = 1+ 0i? Und daher arctan(0) = 0?
Besser ist, den Winkel nicht über den [mm] \arctan [/mm] auszurechnen, weil der nicht eindeutig ist.
Die  Moivre-Formel hat doch auch noch eine andere Form, die mit [mm] k*\bruch{2\pi}{n}.
[/mm]
> Wenn ich alle Werte eingesetzt habe, bekomm ich doch nur 5
> Lösungen oder? Für k=1, ... , 5. Aber letztendlich soll
> doch ein 6Eck zeichnerisch entstehen oder? Muss ich noch
> k=0 einsetzen?
Ja, damit hast Du dann die schon gefundene Lösung.
> Und vielen Dank für eure Hilfe!
Grüße
reverend
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> Hallo bavarian,
>
> > Also ich versuch mich mal:
> >
> > [mm]z^6[/mm] = 1
> >
> > z = x + iy oder z = r (cos(φ) + i sin(φ) )
> >
> > r ist der Betrag meiner Kompl Zahl: r = [mm]√(x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm]
>
> Die komische ASCII-Wurzel wird in LaTeX nicht angezeigt.
> Verwende [mm][code]\sqrt{}[/code][/mm] oder hier auch
> [mm][code]\wurzel{}[/code].[/mm]
>
> > So nun setz ich meine Zahl z ein: z = 1 + 0i
> > Meine Frage: Warum ist das so? Weil [mm]z^6[/mm] = 1 und daher z
> =
> > 1 bzw. z = 1 + 0i (in algebr. Form)?
>
> Nein, es gibt ja 6 verschiedene z, die die Gleichung
> lösen.
> Aber sobald Du eins davon gefunden hast, kannst Du mit
> Moivre die anderen 5 bestimmen. Und [mm]z=1[/mm] ist ja
> offensichtlich eine Lösung.
>
> > Nun kommt die Moivre Form ins Spiel:
> > Ich setz einfach meine Werte ein:
> > n= 6
> > r =1
> > k = 1, 2, 3, 4, 5
> > φ = arctan (y/x)
> > Zum Winkel hab ich noch eine Frage und zwar wie rechne ich
> > den aus? Geht das analog zu meienm Betrag von z, also dass
> > z = 1+ 0i? Und daher arctan(0) = 0?
>
> Besser ist, den Winkel nicht über den [mm]\arctan[/mm]
> auszurechnen, weil der nicht eindeutig ist.
> Die Moivre-Formel hat doch auch noch eine andere Form,
> die mit [mm]k*\bruch{2\pi}{n}.[/mm]
Ich hab des ganze mal durch gerechnet mit dieser Formel:
[mm]\wurzel[3]{r}*[cos(k*\bruch{2\pi}{n})+i*sin(k*\bruch{2\pi}{n})].[/mm]
Also in dieser Formel kommt dann der Winkel gar nicht vor und wird durch die pi/n ausgedrückt oder? Folglich muss ich den Winkel gar nicht bestimmen.
Die n-te Wurzel von meinem Betrag ist bei mir nicht weiter interessant weil sie 1 ist oder? Wie wäre es wenn dies nicht der Fall ist und wo erkenn ich den Betrag, denn ich hab ja nur [mm] z^6 [/mm] = 1 gegeben? Wie lese ich jetzt daraus mein Winkel?
Meine Lösungen:
[mm] z_0 [/mm] = 1
[mm] z_1 [/mm] = 0,5 + 0,866i
[mm] z_2 [/mm] = -0,5 + 0,866i
[mm] z_3 [/mm] = -1
[mm] z_4 [/mm] = -0,5 - 0,866i
[mm] z_5 [/mm] = 0, - 0,866i
kann das soweit stimmen?
Wenn ich diese Punkte in ein Koordinatensystem eintragen würde, erhalte ich ein regelmäßiges 6-Eck auf dem Einheitskreis oder?
>
> > Wenn ich alle Werte eingesetzt habe, bekomm ich doch nur 5
> > Lösungen oder? Für k=1, ... , 5. Aber letztendlich soll
> > doch ein 6Eck zeichnerisch entstehen oder? Muss ich noch
> > k=0 einsetzen?
>
> Ja, damit hast Du dann die schon gefundene Lösung.
>
> > Und vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Grüße
> reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo bavarian,
ich weiß nicht, was Du hier gemacht hast, aber ich spare mir hier Zitate, weil
das bei Deiner Art, den Formeleditor zu verwenden, eh alles unleserlich wird.
Also die Gleichung
[mm] $z^6=1$
[/mm]
hat in der Tat die von Dir genannten Lösungen. Jetzt steht bei Dir
irgendeine Formel mit [mm] $\sqrt[3]{...},$ [/mm] wobei ich gerade, weil das alles irgendwie
unleserlich dargestellt wird, nicht weiß, wo Du die her hast. Wieso rechnest
Du nicht einfach selbst?
(Ich vermute auch, dass da [mm] $\sqrt[n]{...}$ [/mm] steht, und bei Dir ist [mm] $n=6\,,$ [/mm] nicht [mm] $n=3\,$...)
[/mm]
Ein weiterer Hinweis: Natürlich kommen da die Winkel vor - Du solltest
bedenken, dass
[mm] $b=\frac{\alpha}{360^\circ}*2\pi$
[/mm]
die Umrechnungsformel für den Winkel im Bogenmaß ist, wenn [mm] $\alpha$ [/mm] im Gradmaß
(bzgl. [mm] $360^\circ$ [/mm] "für eine Kreisumdrehung") angegeben wird.
In der von Dir benutzten Formel verwendet man halt Winkel im Bogenmaß
(zumal man da auch keine Einheiten mitschleppen muss).
Also:
Bei [mm] $k*2\pi/n$ [/mm] mit [mm] $n=6\,$ [/mm] und $k=0,...,5$ ist
für [mm] $k=0\,$ [/mm] halt [mm] $b=0\,,$ [/mm] was 0° entspricht
für [mm] $k=1\,$ [/mm] halt [mm] $b=\frac{1}{6}*2\pi\,,$ [/mm] was 60° entspricht
für [mm] $k=2\,$ [/mm] halt [mm] $b=\frac{2}{6}*2\pi\,,$ [/mm] was 120° entspricht
.
.
.
(ich habe es mir erspart, zu kürzen, weil das hier zum Verständnis eher
hinderlich denn förderlich wäre...)
P.S. Wenn Du magst, dann denke mal drüber nach, wie die Lösungsmenge
von
[mm] $z^6=64$
[/mm]
in [mm] $\IC$ [/mm] aussieht!
Hinweis: Auch hier hat man ein regelmäßiges Sechseck - die Frage ist nur:
Welcher Radius?
Und dann denke mal drüber nach, wie wohl allgemein
[mm] $z^6=r$
[/mm]
in [mm] $\IC$ [/mm] gelöst werden kann, wenn $r > [mm] 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Hallo bavarian,
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> ich weiß nicht, was Du hier gemacht hast, aber ich spare
> mir hier Zitate, weil
> das bei Deiner Art, den Formeleditor zu verwenden, eh
> alles unleserlich wird.
Oh Mann ich hab mir soviel Mühe gegeben mit der Darstellung und hab auch versucht es zu bearbeiten. hat das nicht geklappt? Also bei mir schauts ganz ordentlich aus. Nur muss es am Anfang 6te wurzel heißen, da hab ich mich vertippt.
> Also die Gleichung
>
> [mm]z^6=1[/mm]
>
> hat in der Tat die von Dir genannten Lösungen. Jetzt steht
> bei Dir
> irgendeine Formel mit [mm]\sqrt[3]{...},[/mm] wobei ich gerade, weil
> das alles irgendwie
> unleserlich dargestellt wird, nicht weiß, wo Du die her
> hast. Wieso rechnest
> Du nicht einfach selbst?
> (Ich vermute auch, dass da [mm]\sqrt[n]{...}[/mm] steht, und bei
> Dir ist [mm]n=6\,,[/mm] nicht [mm]n=3\,[/mm]...)
>
> Ein weiterer Hinweis: Natürlich kommen da die Winkel vor -
> Du solltest
> bedenken, dass
>
> [mm]b=\frac{\alpha}{360^\circ}*2\pi[/mm]
>
> die Umrechnungsformel für den Winkel im Bogenmaß ist,
> wenn [mm]\alpha[/mm] im Gradmaß
> (bzgl. [mm]360^\circ[/mm] "für eine Kreisumdrehung") angegeben
> wird.
>
> In der von Dir benutzten Formel verwendet man halt Winkel
> im Bogenmaß
> (zumal man da auch keine Einheiten mitschleppen muss).
>
> Also:
>
> Bei [mm]k*2\pi/n[/mm] mit [mm]n=6\,[/mm] und [mm]k=0,...,5[/mm] ist
>
> für [mm]k=0\,[/mm] halt [mm]b=0\,,[/mm] was 0° entspricht
>
> für [mm]k=1\,[/mm] halt [mm]b=\frac{1}{6}*2\pi\,,[/mm] was 60° entspricht
>
> für [mm]k=2\,[/mm] halt [mm]b=\frac{2}{6}*2\pi\,,[/mm] was 120° entspricht
>
> .
>
> .
>
> .
>
>
> (ich habe es mir erspart, zu kürzen, weil das hier zum
> Verständnis eher
> hinderlich denn förderlich wäre...)
>
> P.S. Wenn Du magst, dann denke mal drüber nach, wie die
> Lösungsmenge
> von
>
> [mm]z^6=64[/mm]
>
> in [mm]\IC[/mm] aussieht!
>
> Hinweis: Auch hier hat man ein regelmäßiges Sechseck -
> die Frage ist nur:
> Welcher Radius?
Also ist das nicht so, dass r=2 ist weil du die Ergebnisse einfach mit der 6ten Wurzel des Betrages multiplizierst? Denn für einsetzen von k=0 erhalte ich z= 2 + 0i.
Und für [mm] z^6= [/mm] 4096 müsst ich mit 4 multiplizieren.
> Und dann denke mal drüber nach, wie wohl allgemein
>
> [mm]z^6=r[/mm]
>
> in [mm]\IC[/mm] gelöst werden kann, wenn [mm]r > 0\,.[/mm]
Allgemein würd ich für alle r einfach die 6te Wurzel ziehen und und das dann mit den Ergebnissen von k=0...5 multiplizieren.
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo bavarian,
> >
> > ich weiß nicht, was Du hier gemacht hast, aber ich spare
> > mir hier Zitate, weil
> > das bei Deiner Art, den Formeleditor zu verwenden, eh
> > alles unleserlich wird.
> Oh Mann ich hab mir soviel Mühe gegeben mit der
> Darstellung und hab auch versucht es zu bearbeiten. hat das
> nicht geklappt? Also bei mir schauts ganz ordentlich aus.
ja, im Original schon, aber sobald ich - in der ersten Version - auf
"Zitieren" gegangen war, war manches nicht mehr so schön. Das war
auch nichts großes, nur, ich war zu faul, da auch Kleinigkeiten nochmal
nachzubessern. 
Gruß,
Marcel
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Du suchst z mit [mm] z^6=1.
[/mm]
In Polarkoordinaten geschrieben ist [mm] z=r*e^{i \phi}.
[/mm]
Dann ist [mm] z^6=r^6*e^{6i \phi}=1=1*e^{2ni\pi}, [/mm] n [mm] \i [/mm] n [mm] \IZ.
[/mm]
Wegen [mm] r^6=1 [/mm] und r [mm] \in \IR_0^+ [/mm] ist r=1 und [mm] 6\phi [/mm] = [mm] 2n\pi, [/mm] also [mm] \phi=2\pi*\bruch{n}{6} \hat= [/mm] n*60 °.
Damit erhältst du z=cos(n*60°)+i*sin(n*60°) für n =0, 1, ... 5
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen und skizieren Sie die Lösungen der Gleichnug
> [mm]z^6[/mm] - 1 = 0
> So also nach dem Satz von Moivre:
>
> [mm]z^n[/mm] = [mm]p^n[/mm] ( cos(nφ) + i sin (nφ) ) = 1
hierbei ist hier [mm] $p:=|z|=1\,.$
[/mm]
(Grund: [mm] $z^6=1$ [/mm] liefert [mm] $|z^6|=|1|=1\,,$ [/mm] und mit der bekannten Rechenregel
[mm] $|z^n|=|z|^n$ [/mm] folgt dann [mm] $|z|^6=1\,,$ [/mm] also [mm] $|z|=1\,.$)
[/mm]
> jetzt weiß ich aber nicht weiter. Könnte man folgendes
> sagen:
>
> [mm]p^n[/mm] * cos (nφ) = 1
> [mm]p^n[/mm] * sin (nV) = 0
Ja, es gilt
[mm] $z^n=1$ [/mm] (hier muss [mm] $|z|=1\,$ [/mm] sein; s.o., analog!)
[mm] $\iff$ $|z|^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))=1$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\cos(n \varphi)+i \sin(n \varphi)=1$ [/mm] (wegen [mm] $|z|=1\,$)
[/mm]
In Deinem Falle ist zudem [mm] $n=6\,,$ [/mm] so dass Du damit
[mm] $z^6=1$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\cos(6 \varphi)+i\sin(6 \varphi)=1$
[/mm]
erhältst.
Das bedeutet für die Lösungen [mm] $\varphi\,,$ [/mm] dass sie gleichzeitig
[mm] $\cos(6 \varphi)=1$ [/mm] und [mm] $\sin(6 \varphi)=0$
[/mm]
erfüllen müssen (denn zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich,
wenn sie sowohl in ihrem Real- als auch in ihrem Imaginärteil übereinstimmen,
und es ist halt [mm] $1=1+0*i\,.$)
[/mm]
Jetzt kannst Du natürlich alle [mm] $\varphi \in \IR$ [/mm] bestimmen, die simultan
[mm] $\cos(6 \varphi)=1$ [/mm] und [mm] $\sin(6 \varphi)=0$
[/mm]
erfüllen, wirst dann aber (wegen Periodizitätsargumenten!) einsehen,
dass es reicht, sich da 6 geeignete [mm] $\varphi$ [/mm] rauszuwählen. Denn:
Nehmen wir an, Du gibst sogar alle [mm] $\varphi=\varphi_k$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$) [/mm] an. Dann
hat die gesuchte Lösungsmenge die Form
[mm] $\{z_k:\;\;z_k=\cos(6\varphi_k)+i*\sin(6\varphi_k):\;\; k \in \IZ\}\,.$
[/mm]
(S.o.!)
Und dann wirst Du merken, dass diese Menge aber nur 6 verschiedene
komplexe Zahlen enthält (und eine solche Menge bekommt man, wenn
man die Wahl der [mm] $\varphi$ [/mm] auf ein einseitig abgeschlossenes und einseitig
offenes Intervall der Länge [mm] $2\pi$ [/mm] einschränkt).
P.S. Ich fand Deinen Ansatz hier daher auch entsprechend gut!
Gruß,
Marcel
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hier![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
