n-te Potenz einer Matrix. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Camille |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] A^{n} \in Q^{3x3} [/mm] für beliebiges n [mm] \in \IZ [/mm] und A= [mm] \pmat{ -3 & 1 & 3 \\ -\bruch{5}{2} & \bruch{3}{2} & 2 \\ -4 & 1 & 4} [/mm] . |
Guten Abend zusammen!
Meine Lösungsidee bestand darin zu beweisen, dass es sich hierbei um eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad k handelt, dann k-1 Matrizen anzugeben und mit dem Bemerk [mm] A^{n}=0 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] k abzuschließen.
Nun muss ich feststellen, dass A 1 als Eigenwert hat und somit nicht nilpotent ist.
Nun stehe ich vollkommen auf dem Schlauch und weiß nicht weiter.
Besten Dank für jeden Denkanstoss.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Sa 17.05.2008 | | Autor: | barsch |
Vorwort 
Abend,
jetzt setze ich zum 3. Mal zu einer Antwort an, weil mir bis zuletzt Fehler aufgefallen sind. Aber mittlerweile hoffe ich, evtl. Fehler beseitigt zu haben - und wenn nicht, dann finden sie sicher andere Mitglieder und verbessern sie gerne. Vielleicht können sich andere auch zu diesem Gedankengang äußern - würde auch mich freuen.
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Hi,
meine Idee wäre, dass du über die Jordannormalform argumentierst.
Leider hat die Jordannormalform in diesem Fall keine Diagonalgestalt, was die Sache viel einfacher machen würde. Um dir zu erläutern auf was ich hinaus will, gehen wir doch erst einmal davon aus, dass die JNF (=JordanNormalForm) diagonalgestalt (nur Einträge auf der Diagonalen) hat.
Es gilt ja:
[mm] S^{-1}*A*S=J [/mm] mit [mm] J=diag(\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_k):=\pmat{ \lambda_1 & & & & &0 \\ & \lambda_2 \\ & & & \ddots &\\ 0 & & & & & \lambda_k } [/mm] mit [mm] \lambda_j [/mm] Eigenwerte, j=1,...,k
Dann ist [mm] A=S*J*S^{-1} [/mm] und [mm] A^n=(S*J*S^{-1})^n
[/mm]
[mm] (S*J*S^{-1})^n=S*J*S^{-1}*S*J*S^{-1}S*J*S^{-1}\cdots*S*J*S^{-1}
[/mm]
[mm] =S*J*(S^{-1}*S)*J*(S^{-1}S)*J*S^{-1}\cdots*S*J*S^{-1}
[/mm]
[mm] =S*J^n*S^{-1}=S*\pmat{ \lambda_1^n & & & & &0 \\ & \lambda_2^n \\ & & & \ddots &\\ 0 & & & & & \lambda_k^n }*S^{-1}
[/mm]
Jetzt zu deinem Fall:
Auch hier:
[mm] S^{-1}*A*S=J, [/mm] also [mm] A=S*J*S^{-1} [/mm] und damit [mm] A^n=(S*J*S^{-1})^n
[/mm]
Ich habe die JNF mit zwei verschiedenen Programmen berechnet - und zwei verschiedene Ergebnisse erhalten ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") . Bestimmt einmal falsch eingetippt, ist ja schon spät.
Ich weiß also nicht 100%ig, ob die JNF stimmt.
Berechnet wurden Eigenwerte [mm] \lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=\bruch{1}{2} [/mm] und
[mm] J=\pmat{ \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0& 1 &1\\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Wenn wir jetzt einmal berechnen: [mm] J^2=J*J=\pmat{ \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0& 1 &1\\ 0 & 0 & 1 }*\pmat{ \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0& 1 &1\\ 0 & 0 & 1 }=\pmat{ \bruch{1}{4} & 0 & 0 \\ 0& 1 &2\\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] J^3=J*J*J=J^2*J=\pmat{ \bruch{1}{4} & 0 & 0 \\ 0& 1 &2\\ 0 & 0 & 1 }*\pmat{ \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0& 1 &1\\ 0 & 0 & 1 }=\pmat{ \bruch{1}{8} & 0 & 0 \\ 0& 1 &3\\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] J^4=J*J*J*J=J^3*J=\pmat{ \bruch{1}{8} & 0 & 0 \\ 0& 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 }*\pmat{ \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0& 1 &1\\ 0 & 0 & 1 }=\pmat{ \bruch{1}{16} & 0 & 0 \\ 0& 1 &4\\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Wir erkennen: [mm] J^n=\pmat{ (\bruch{1}{2})^{\red{n}} & 0 & 0 \\ 0& 1 &\red{n}\\ 0 & 0 & 1 }=\pmat{ \bruch{1}{2^{\red{n}}} & 0 & 0 \\ 0& 1 &\red{n}\\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
(zumindest meine ich, dies erkennen zu können - bestimmt eine schöne Induktionsaufgabe )
Also können wir sagen:
[mm] A^{\red{n}}=S*J^{\red{n}}*S^{-1}=S*\pmat{ (\bruch{1}{2})^{\red{n}} & 0 & 0 \\ 0& 1 &\red{n}\\ 0 & 0 & 1 }*S^{-1}
[/mm]
Du musst eben noch dein S und [mm] S^{-1} [/mm] berechnen.
In der vorliegenden Rechnung bin ich natürlich davon ausgegangen, dass die JNF stimmt - sicher bin ich mir, wie erwähnt, nicht.
Ansonsten gilt auch: Meinen Gedankengang kritisch lesen/hinterfragen Fehler passieren immer wieder - erst recht um diese Zeit.
MfG barsch
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Hallo,
wie Du schon ahntest, stimmen Deine Eigenwerte nicht ganz.
Es ist 1 der einzige Eigenwert, und seine geometrische Vielfachheit ist 1, was die Berechnung nochmal vereinfacht, s. mein Post.
(EDIT: ![[]](/images/popup.gif) Der da hat mir doch tatsächlich das richtige charakteristische Polynom geliefert, aber 1 als dreifachen Eigenwert.)
Deine Überlegungen sind ansonsten richtig,passend und nützlich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Di 20.05.2008 | | Autor: | Camille |
Mir ist nicht klar, warum 1 der einzige Eigenwert sein soll.
Mein charakteristisches Polynom [mm] P_{A}(X) [/mm] lautet:
[mm] P_{A}(X)=X^{3}-\bruch{5}{2}X^{2}+2X-\bruch{1}{2}
[/mm]
Meine Eigenwerte lauten 1 und [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Mache ich einen Fehler?
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Hallo Camille,
> Mir ist nicht klar, warum 1 der einzige Eigenwert sein
> soll.
Mir auch nicht ...
> Mein charakteristisches Polynom [mm]P_{A}(X)[/mm] lautet:
> [mm]P_{A}(X)=X^{3}-\bruch{5}{2}X^{2}+2X-\bruch{1}{2}[/mm]
> Meine Eigenwerte lauten 1 und [mm]\bruch{1}{2}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Mache ich einen Fehler?
Ich denke nicht, ich habe "zu Fuß" dasselbe heraus und auch Matlab bestätigt brav die Eigenwerte [mm] $\lambda_{1,2}=1, \lambda_3=\frac{1}{2}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 09:00 Sa 17.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo,
wie Angela schon geschrieben hat, die Eigenwerte stimmen nicht ganz. Ansonsten stimmt's aber.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:14 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Camille |
Lieber barsch,
vllt. erlaubst du mir noch eine (dumme) Frage.
Ich bin genau nach deinem Vorschlag vorgegangen und bin ebenfalls zum Schluss bei der Gleichung
S [mm] \pmat{ (\bruch{1}{2})^{n} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 } S^{-1} [/mm] = [mm] A^{n}
[/mm]
angekommen. Entgegen deiner Zweifel denke ich, dass es stimmt. Maple und MATLAB bekräftigen meine Zuversicht.
Nun zu meiner Frage: Was genau muss ich mir unter den Matrizen S und [mm] S^{-1} [/mm] vorstellen. Die Definition der JNF versteh' ich in diesem Punkt nicht. Vielleicht kannst du mir weiterhelfen.
Zum Schluss noch lieben Dank an dich und alle anderen für eure Mühe.
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> Lieber barsch,
>
> vllt. erlaubst du mir noch eine (dumme) Frage.
>
> Ich bin genau nach deinem Vorschlag vorgegangen und bin
> ebenfalls zum Schluss bei der Gleichung
>
> S [mm]\pmat{ (\bruch{1}{2})^{n} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 } S^{-1}[/mm]
> = [mm]A^{n}[/mm]
>
> angekommen. Entgegen deiner Zweifel denke ich, dass es
> stimmt. Maple und MATLAB bekräftigen meine Zuversicht.
>
> Nun zu meiner Frage: Was genau muss ich mir unter den
> Matrizen S und [mm]S^{-1}[/mm] vorstellen. Die Definition der JNF
> versteh' ich in diesem Punkt nicht. Vielleicht kannst du
> mir weiterhelfen.
Hallo,
die Matrix S ist die Matrix, die Dir die Transformation von der verwendeten Standardbasis in die Jordanbasis vornimmt.
Was Du also brauchst, ist, wie ich bereits schrieb, eine Jordanbasis.
Den Eigenvektor [mm] v_1 [/mm] zu 0.5 und [mm] v_2 [/mm] zu 1 kannst Du sofort verwenden, dann brauchst Du noch einen dritten Vektor [mm] v_3 [/mm] so, daß [mm] Av_3=v_3+v_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Berechnen Sie [mm]A^{n} \in Q^{3x3}[/mm] für beliebiges n [mm]\in \IZ[/mm]
> und A= [mm]\pmat{ -3 & 1 & 3 \\ -\bruch{5}{2} & \bruch{3}{2} & 2 \\ -4 & 1 & 4}[/mm]
> .
> Guten Abend zusammen!
>
> Meine Lösungsidee bestand darin zu beweisen, dass es sich
> hierbei um eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad k
> handelt, dann k-1 Matrizen anzugeben und mit dem Bemerk
> [mm]A^{n}=0[/mm] für n [mm]\ge[/mm] k abzuschließen.
>
> Nun muss ich feststellen, dass A 1 als Eigenwert hat und
> somit nicht nilpotent ist.
Hallo,
barschs Hinweis mit JNF ist ziemlich gut, und auch Deine ursprüngliche Überlegung kannst Du verwenden.
Die JNF der Matrix ist [mm] J=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}=\underbrace{\pmat{ 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}}_{:=D}+\underbrace{\pmat{ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1}}_{:=N}
[/mm]
D ist Diagonalmatrix, N ist nilpotent, und es ist DN=ND=N
Überlege Dir nun die Potenzen von D und N und berechne [mm] (N+D)^n [/mm] mit dem binomischen Satz.
Wenn Du dann noch eine Jordanbasis berechnest, hast Du [mm] A^n [/mm] griffig dastehen.
Gruß v. Angela
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