n-te Primzahl <= 2^(2^(n-1)) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 So 14.08.2011 | | Autor: | FlorianK |
| Aufgabe | | Sei [mm]p_n[/mm] die n-te Primzahl, d. h. [mm]p_1 = 2[/mm], [mm]p_2 = 3[/mm] usw. Zeigen Sie: [mm]p_n \leq 2^{2^{n-1}}[/mm] für alle [mm]n \geq 1[/mm]. |
Hallo,
ich finde leider überhaupt keinen Lösungsansatz für diese Übungsaufgabe und hoffe daher auf den nötigen Denkanstoß.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]p_n[/mm] die n-te Primzahl, d. h. [mm]p_1 = 2[/mm], [mm]p_2 = 3[/mm] usw.
> Zeigen Sie: [mm]p_n \leq 2^{2^{n-1}}[/mm] für alle [mm]n \geq 1[/mm].
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> Hallo,
>
> ich finde leider überhaupt keinen Lösungsansatz für
> diese Übungsaufgabe und hoffe daher auf den nötigen
> Denkanstoß.
Hallo Florian,
setze einmal $\ [mm] q_n\ [/mm] :=\ [mm] 2^{2^{n-1}}$
[/mm]
Mach dir klar, wie man [mm] q_{n+1} [/mm] aus [mm] q_n [/mm] berechnet und
überlege dir, wie man zeigen könnte, dass zwischen [mm] q_n
[/mm]
und [mm] q_{n+1} [/mm] stets mindestens eine Primzahl stecken müsste.
LG Al-Chw.
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Hallo FlorianK,
> Sei [mm]p_n[/mm] die n-te Primzahl, d. h. [mm]p_1 = 2[/mm], [mm]p_2 = 3[/mm] usw.
> Zeigen Sie: [mm]p_n \leq 2^{2^{n-1}}[/mm] für alle [mm]n \geq 1[/mm].
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> Hallo,
>
> ich finde leider überhaupt keinen Lösungsansatz für
> diese Übungsaufgabe und hoffe daher auf den nötigen
> Denkanstoß.
Ich denke, das kann man (mit dem Beweis von Euklid, dass es unendl. viele PZen gibt, im Hinterkopf) gut per vollst. Induktion lösen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mo 15.08.2011 | | Autor: | FlorianK |
Danke euch beiden für die schnelle Hilfe!
Mithilfe des Beweises von Euklid und [mm]q_{n+1} = q_n^2[/mm] kam ich letztendlich auf die Ungleichungen [mm]p_{n+1} \leq p_1 * \ldots * p_n + 1 < p_n^2 \leq q_n^2[/mm] und dem natürlich naheliegenden Induktionsanfang <span class="math">[mm]p_1 \leq 2[/mm]</span>.
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