n-te Wurzel aus n < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Sa 28.11.2009 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Zeigen Sei, dass die Folge [mm] a_{n}:=\wurzel[n]{n} [/mm] gegen 1 konvergiert. |
Irgendwie kommt man nach dem normalen Konvergenzkriterium nicht weiter.
Da komm ich nur auf [mm] n<(1+\varepsilon)^{n} [/mm]
Kann man das anders beweisen? Oder kann man irgendwie beweisen, dass eine Potenz einer Zahl größer als eins irgendwann größer als der Exponent ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich kenne nur den Beweis über ein wenig umschreiben:
Betrachten wir einmal die Folge [mm] $b_n=\wurzel[n]{n}-1$. [/mm] Wenn wir zeigen das die gegen Null geht wären wir ja fertig. D.h [mm] $\wurzel[n]{n}=1+b_n$ [/mm] also [mm] $n=(1+b_n)^n$. [/mm] Daraus folgt:
$n [mm] \underbrace{>}_{Binomischer Satz (nur 3. Summand)} \bruch{n*(n-1)}{2} \ge \bruch{n^2}{4}b_n^2$.
[/mm]
Umgestellt: [mm] $b_n^2 [/mm] < [mm] \bruch{4}{n} \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty) [/mm] $
Damit wäre alles gezeigt!
lg Kai
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