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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 So 25.11.2007 | | Autor: | sitcom1 |
| Aufgabe | Es seien a,b [mm] \in \IR, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und r [mm] \in \IQ [/mm] sowie a,b > 0, r [mm] \ge [/mm] 0. Zeigen Sie
a. [mm] (ab)^{\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] b^{\bruch{1}{n}}b^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
b. [mm] ab^{r} [/mm] = [mm] a^{r}b^{r}
[/mm]
Die bekannten Regeln für das Rechnen mit natürlichen Exponenten dürfen als gültig vorausgesetzt werden. |
Das ist eine Aufgabe zu Analysis 1.
Bin ganz ratlos, vor allem weil Potenzen mit rationalen Exponenten bei uns weder im Skript noch in der Vorlesung behandelt bzw. eingeführt wurden. Habe zwar ziemlich lange rumprobiert, aber nicht mal einen Ansatz :-(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 So 25.11.2007 | | Autor: | sitcom1 |
Sorry, bei b. muss es natürlich heißen [mm] (ab)^{r} [/mm] = ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mo 26.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Sitcom und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Forme einfach mal ein wenig um, und schreib die Potenzen aus:
Also bei b:
[mm] (ab)^{r}
[/mm]
[mm] =\underbrace{ab*ab*...*ab}_{r-mal}
[/mm]
[mm] =\underbrace{a*a*...*a}_{r-mal}*\underbrace{b*b*...*b}_{r-mal}
[/mm]
=...
Und bei a:
Beachte [mm] \wurzel[n]{a^{z}}=a^{\bruch{z}{n}}
[/mm]
Forme damit mal [mm] a^{\bruch{1}{n}} [/mm] um, und beachte dann Aufgabe b)
Marius
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> Forme einfach mal ein wenig um, und schreib die Potenzen
> aus:
>
> Also bei b:
>
> [mm](ab)^{r}[/mm]
> [mm]=\underbrace{ab*ab*...*ab}_{r-mal}[/mm]
>
> [mm]=\underbrace{a*a*...*a}_{r-mal}*\underbrace{b*b*...*b}_{r-mal}[/mm]
> =...
Hallo,
ich wüßte gar nciht, wie ich das für [mm] r=\bruch{7}{31} [/mm] machen sollte...
Ich glaube, der Tip hat Schwächen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Mo 26.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
> > Forme einfach mal ein wenig um, und schreib die Potenzen
> > aus:
> >
> > Also bei b:
> >
> > [mm](ab)^{r}[/mm]
> > [mm]=\underbrace{ab*ab*...*ab}_{r-mal}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\underbrace{a*a*...*a}_{r-mal}*\underbrace{b*b*...*b}_{r-mal}[/mm]
> > =...
>
> Hallo,
>
> ich wüßte gar nciht, wie ich das für [mm]r=\bruch{7}{31}[/mm] machen
> sollte...
>
> Ich glaube, der Tip hat Schwächen.
>
> Gruß v. Angela
Naja, mit ein Wenig umformen gehts auch dann:
[mm] (ab)^{\bruch{7}{31}}
[/mm]
[mm] =\wurzel[31]{(ab)^{7}}
[/mm]
[mm] =\wurzel[31]{a^{7}*b^{7}}
[/mm]
[mm] =\wurzel[31]{a^{7}}*\wurzel[31]{b^{7}}
[/mm]
[mm] =a^{\bruch{7}{31}}*b^{\bruch{7}{31}}
[/mm]
Unter der Voraussetzung dass man die Wurzelgesetze für natürliche Exponenten und Wurzelexponenten anwenden darf.
Marius
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> Es seien a,b [mm]\in \IR,[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] und r [mm]\in \IQ[/mm] sowie a,b >
> 0, r [mm]\ge[/mm] 0. Zeigen Sie
>
> a. [mm](ab)^{\bruch{1}{n}}[/mm] = [mm]a^{\bruch{1}{n}}b^{\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> b. [mm]ab^{r}[/mm] = [mm]a^{r}b^{r}[/mm]
Hallo,
wie habt Ihr denn [mm] a^x [/mm] definiert? Das muß ja irgendwie definiert sein, sonst stünde die Aufgabe doch nicht hier, oder?
Gruß v. Angela
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Ich wuerde es so machen: seien $x,y>0$, so dass [mm] $(ab)^{1/n}=xy$. [/mm] Die kann man immer finden. Es gibt allerdings unendlich viele davon, naemlich eine 1-dimensionale Loesungsschar! (Das beweist man ganz leicht). Insbesondere gilt dann [mm] $ab=x^n y^n$ [/mm] durch Potenznehmen. Da ich einen Freiheitsgrad habe, setze ich $x=?$. Weisst du weiter?
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