n^4+4 ist keine Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mi 18.11.2009 | | Autor: | elf3 |
| Aufgabe | | beweisen sie, dass [mm] n^4+4 [/mm] für keine n>1 eine Primzahl ist |
hallo zusammen
ich verzweifle langsam an dieser aufgabe.
Meine Idee:
Ich wollte [mm] n^4+4 [/mm] Faktorisieren, sodass ich eine Form von [mm] n^4+4=k*t [/mm] erhalte mit k>1 und t>1, denn dann wäre es ja keine Primzahl
aber irgendwie bin ich dazu nicht in der lage oder ist der ansatz falsch?
danke schon einmal im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mi 18.11.2009 | | Autor: | abakus |
> beweisen sie, dass [mm]n^4+4[/mm] für keine n>1 eine Primzahl ist
> hallo zusammen
> ich verzweifle langsam an dieser aufgabe.
> Meine Idee:
>
> Ich wollte [mm]n^4+4[/mm] Faktorisieren, sodass ich eine Form von
> [mm]n^4+4=k*t[/mm] erhalte mit k>1 und t>1, denn dann wäre es ja
> keine Primzahl
> aber irgendwie bin ich dazu nicht in der lage oder ist der
> ansatz falsch?
Hallo,
offensichtlich ist die Abspaltung eines Linearfaktors nicht möglich, da [mm] n^4+4=0 [/mm] keine reellen Nullstellen besitzt.
Bleibt die Zerlegung von [mm] n^4+4 [/mm] in zwei quadratische Faktoren der allgemeinen Form
[mm] (n^2+a*n+b)(n^2+c*n+d).
[/mm]
Multpliziere das mal aus und mache einen Koeffizientenvergleich mit [mm] n^4+4.
[/mm]
Gruß Abakus
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> danke schon einmal im voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Mi 18.11.2009 | | Autor: | elf3 |
danke sehr....
dieser tipp war die rettende lösung...
sehr nett von dir, dass du mir so schnell geantwortet hat... danke
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Hallöchen,
ich beschäftige mich ebenfalls mit der Aufgabe und habe durch Zufall diesen älteren thread gefunden. Ich habe auch versucht, dass Polynom in quadratische Faktoren zu zerlegen. durch den Koeffizientvergleich erhielt ich dann folgendes Gleichungssystem:
a+c=0
d+ac+b=0
ad+bc=0
bd=4
Ich bekomme beim lösen dieses Gleichungsystems aber einfach kein sinnvolles ergebnis. Kann mir jemand sagen wo mein Denkfehler liegt?
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
schau mal hier.
Das dürfte die Frage klären, oder? 
Grüße
reverend
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Hallöchen
ja jetzt habe ich die Lösung aber wie komme ich darauf?..Ich kenn diese Identy of Sophie Germain nicht.
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Do 20.10.2011 | | Autor: | Kato |
Hallo Schmetterfee,
durch quadratische Ergänzung erhält man:
[mm] a^4 +4b^4 = a^4 + 4a^2b^2+4b^4 -4a^2 b^2 [/mm]
[mm] = (a^2+2b^2)^2 - (2ab)^2 [/mm] (Binomische Formeln)
[mm] = (a^2 + 2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)[/mm]
LG Kato
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Hallöchen,
danke schön für die Rechnung jetzt habe ich es verstanden. Dankeschön
LG Schmetterfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Do 20.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallöchen,
>
> ich beschäftige mich ebenfalls mit der Aufgabe und habe
> durch Zufall diesen älteren thread gefunden. Ich habe auch
> versucht, dass Polynom in quadratische Faktoren zu
> zerlegen. durch den Koeffizientvergleich erhielt ich dann
> folgendes Gleichungssystem:
> a+c=0
Daraus folgt a=-c.
> d+ac+b=0
> ad+bc=0
Wegen a=-c muss b=d gelten
> bd=4
Also ist b=d=2 oder b=d=-2.
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> Ich bekomme beim lösen dieses Gleichungsystems aber
> einfach kein sinnvolles ergebnis. Kann mir jemand sagen wo
> mein Denkfehler liegt?
>
> LG Schmetterfee
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Hallöchen,
danke schön jetzt habe ich meinen doofen Vorzeichenfehler in der Rechnung entdeckt. Dann kann das ja auch nicht funktionieren. Danke^^
LG Schmetterfee
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