n*1=0 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei R ein Integritätsbereich und es gebe eine nat. Zahl $n [mm] \ge [/mm] 1$ mit $n [mm] \cdot 1_{R} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}1_{R} [/mm] = [mm] 0_{R}$, [/mm] d.h, die n-fache Summe des Einselementes ergibt das Nullelement.
Zeigen Sie, dass die kleineste pos. Zahl p = {m [mm] \in \IZ_{>0}|m \cdot 1_{R} [/mm] = [mm] 0_{R} [/mm] } mit dieser Eigenschaft eine Primzahl ist. |
Hi,
also vorstellen kann ich mir die Aufgabe:
Bsp: Sei R = [mm] Z_{7}, Z_{7} [/mm] ist Int.bereich, da 7 Primzahl, also Nulleilerfrei.
[mm] 7\cdot1_{R}=\overline{7}=\overline{0}
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] Z_{4} [/mm] nehmen würde, wäre zwar [mm] 4\cdot1_{R} [/mm] auch [mm] \overline{0}, [/mm] aber [mm] Z_{4} [/mm] ist kein Int.bereich.
Meine Frgae ist jetzt, wie ich das ganze nun am besten Beweisen kann.
Da das ganze ja eine Implikation ist, könnte ich ja auch sagen: "Sei p keine Primzahl" und dann daraus folgern, dass [mm] Z_{p} [/mm] dann kein Int.bereich ist bzw die n-fache Summe der 1 nicht 0 ergibt, aber da komme ich auch nicht weiter.
Gibt es noch eine Möglichkeit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 So 30.01.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Hi,
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> also vorstellen kann ich mir die Aufgabe:
> Bsp: Sei R = [mm]Z_{7}, Z_{7}[/mm] ist Int.bereich, da 7 Primzahl,
> also Nulleilerfrei.
> [mm]7\cdot1_{R}=\overline{7}=\overline{0}[/mm]
> Wenn ich jetzt [mm]Z_{4}[/mm] nehmen würde, wäre zwar [mm]4\cdot1_{R}[/mm]
> auch [mm]\overline{0},[/mm] aber [mm]Z_{4}[/mm] ist kein Int.bereich.
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> Meine Frgae ist jetzt, wie ich das ganze nun am besten
> Beweisen kann.
> Da das ganze ja eine Implikation ist, könnte ich ja auch
> sagen: "Sei p keine Primzahl" und dann daraus folgern, dass
> [mm]Z_{p}[/mm] dann kein Int.bereich ist bzw die n-fache Summe der 1
> nicht 0 ergibt, aber da komme ich auch nicht weiter.
Ist p keine Primzahl, kann man etwa schreiben p=ab, wobei a,b ganze Zahlen ungleich p sind. Wegen der Minimalität von p sind dann a*1 und b*1 nicht 0, und also offensichtlich Nullteiler.
Beste Grüße,
Berieux
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