n_o berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Do 15.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Sei [mm] x_0 [/mm] eine feste, positive reelle Zahl. Die reelle Folge [mm] a_n [/mm] sei definiert durch
[mm] a_n=\frac{\sqrt{n}*(\sqrt{x_0*n}+1)}{n+1}
[/mm]
1. Beweisen Sie, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergent ist und bestimmen Sie den Grenzwert a von [mm] (a_n)
[/mm]
2. Berechnen Sie ein [mm] n_0, [/mm] sodass [mm] |a_n-a|< 10^{-1000} [/mm] für alle [mm] n\ge n_0 [/mm] gilt.
Hinweis: Niemand verlangt von Ihnen, daß Sie das kleinstmögliche [mm] n_0 [/mm] finden. |
1. Aufgabe
Termumformung:
[mm] \frac{\sqrt{n}*(\sqrt{x_0*n}+1)}{n+1}=\frac{\sqrt{n}\sqrt{x_0}\sqrt{n}+\sqrt{n}}{n+1}=\frac{n\sqrt{x_0}+\sqrt{n}}{n+1}=
[/mm]
[mm] \frac{(n+1)\sqrt{x_0}}{n+1}
[/mm]
[mm] =\sqrt{x_0}
[/mm]
Es gilt:
[mm] \underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{n}*(\sqrt{x_0*n}+1)}{n+1}=\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{{x}_{0}}=\sqrt{{x}_{0}}
[/mm]
Damit ist [mm] a_n [/mm] konvergent und konvergiert gegen [mm] \sqrt{x_0}
[/mm]
Bitte mal drüber gucken! Ach ja, die Formeln sehen heute so pixelig aus. Liegt das an mir, oder wurde im Forum etwas geändert?
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Do 15.08.2013 | | Autor: | chrisno |
>
> [mm]\frac{\sqrt{n}*(\sqrt{x_0*n}+1)}{n+1}=\frac{\sqrt{n}\sqrt{x_0}\sqrt{n}+\sqrt{n}}{n+1}=\frac{n\sqrt{x_0}+\sqrt{n}}{n+1}=[/mm]
>
> [mm]\frac{(n+1)\sqrt{x_0}}{n+1}[/mm]
Multiplizier das mal aus, dann siehst Du, dass es nicht stimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Do 15.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ups !
$ [mm] \frac{\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{x_0\cdot{}n}+1)}{n+1}=\frac{\sqrt{n}\sqrt{x_0}\sqrt{n}+\sqrt{n}}{n+1}=\frac{n\sqrt{x_0}+\sqrt{n}}{n+1}= [/mm] $
[mm] \frac{\sqrt{x_0}+\frac{\sqrt{n}}{1}}{1+\frac{1}{n}}
[/mm]
Es gilt:
[mm] \underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{x_0\cdot{}n}+1)}{n+1}=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{x_0}+\frac{\sqrt{n}}{1}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{\sqrt{x_0}+0}{1+0}=\sqrt{x_0}
[/mm]
Damit ist [mm] a_n [/mm] konvergent mit Grenzwert [mm] \sqrt{x_0}
[/mm]
Danke für den Hinweis!
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Do 15.08.2013 | | Autor: | chrisno |
Das sieht schon besser aus. Tausche noch Zähler und Nenner bim Bruch im Zähler aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:12 Fr 16.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ach manno, blöde Tippfehler 
$ [mm] \frac{\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{x_0\cdot{}n}+1)}{n+1}=\frac{\sqrt{n}\sqrt{x_0}\sqrt{n}+\sqrt{n}}{n+1}=\frac{n\sqrt{x_0}+\sqrt{n}}{n+1}= \frac{\sqrt{x_0}+\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{n}} [/mm] $
Es gilt:
[mm] \underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{x_0\cdot{}n}+1)}{n+1}=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{x_0}+\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{\sqrt{x_0}+0}{1+0}=\sqrt{x_0} [/mm]
Damit ist [mm] a_n [/mm] konvergent mit Grenzwert [mm] \sqrt{x_0} [/mm]
Nochmal: Danke für den Hinweis!
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Fr 16.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
2. [mm] Aufgabe\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] $\left|{a}_{n}-a\right|<{10}^{-1000}\qquad \Leftrightarrow
[/mm]
[mm] $\left|\frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{{x}_{0}*n}+1\right)}{n+1}-\sqrt{{x}_{0}}\right|<\frac{1}{{10}^{1000}}\qquad \Leftrightarrow\\$
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] $\left|\frac{n\sqrt{{x}_{0}}-\sqrt{n}}{n+1}-\sqrt{{x}_{0}}\right|<\frac{1}{{10}^{1000}}\qquad \Leftrightarrow\\$
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] $\left|\frac{n\sqrt{{x}_{0}}+\sqrt{n}}{n+1}-\frac{n\sqrt{{x}_{0}}+\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|<\frac{1}{{10}^{1000}}\qquad \Leftrightarrow\\$
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] $\left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|<\frac{1}{{10}^{1000}}\qquad \Leftrightarrow\\$
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] $\left|\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}\right|<\frac{n+1}{{10}^{1000}}\qquad \Longrightarrow\\$
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
Da [mm] $min\sqrt{n}=1$ [/mm] bei n$ [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] und angenommen wird, daß [mm] n>x_0 [/mm] erfolgt folgende Abschätzung:
[mm] \\
[/mm]
[mm] $|1-0|\le \left|\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}\right|<\frac{n+1}{{10}^{1000}}\qquad \Longrightarrow\\$
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] $1<\frac{n+1}{{10}^{1000}}\qquad $\Longleftrightarrow \qquad 10^{1000}-1
[mm] \\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
Damit gilt für alle [mm] $n>10^{1000}-1 \qquad \left|{a}_{n}-a\right|<{10}^{-1000}$
[/mm]
Anmerkung:
Ich denke, mit der Abschätzung bin ich etwas hoch rangegangen, aber falsch sollte es eigentlich nicht sein!? Ich hatte aber keine Idee, wie man dort eine genauere Abschätzung erreicht.
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Fr 16.08.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
da ja nicht nach dem kleinst möglichen [mm] n_0 [/mm] gefragt ist ist es egal, wie grob du abschätzt.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:40 Fr 16.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hattest du mal nachgesehen, ob ich das soweit richtig hatte?
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
ich schau's mir mal an!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> 2. [mm]Aufgabe\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]$\left|{a}_{n}-a\right|<{10}^{-1000}\qquad \Leftrightarrow[/mm]
>
>
> [mm]\left|\frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{{x}_{0}*n}+1\right)}{n+1}-\sqrt{{x}_{0}}\right|<\frac{1}{{10}^{1000}}\qquad \Leftrightarrow\\[/mm]
>
> [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\left|\frac{n\sqrt{{x}_{0}}\red{-}\sqrt{n}}{n+1}-\sqrt{{x}_{0}}\right|<\frac{1}{{10}^{1000}}\qquad \Leftrightarrow\\[/mm]
das rotmarkierte Minus ist ein Vertipper von Dir.
> [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\left|\frac{n\sqrt{{x}_{0}}+\sqrt{n}}{n+1}-\frac{n\sqrt{{x}_{0}}+\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|<\frac{1}{{10}^{1000}}\qquad \Leftrightarrow\\[/mm]
>
> [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|<\frac{1}{{10}^{1000}}\qquad \Leftrightarrow\\[/mm]
>
> [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\left|\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}\right|<\frac{n+1}{{10}^{1000}}\qquad \Longrightarrow\\[/mm]
Bis hierhin ist das okay! Was Du danach gemacht hast, erschließt sich mir
nicht.
Mach' es einfach so weiter:
[mm] $\left|\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}\right|<\frac{n+1}{{10}^{1000}}$ $\iff$ $\left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|<\frac{1}{{10}^{1000}}.$
[/mm]
(Edit: Ich sehe gerade, dass wir so einmal "im Kreis gerechnet" haben -
erspare Dir also schon die vorherige Multiplikation mit [mm] $n+1\,$ [/mm] - sonst wird
das einfach nur unübersichtlich und verwirrend - und rechne selbst bis zu
dem obigen Schritt. Bzw. der steht ja auch bei Dir schon da...)
Nun gilt aber auch
(*) [mm] $\left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|$ $\le$ $\left|\frac{\sqrt{n}}{n+1}\right|+\left|\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|$ $=\frac{\sqrt{n}}{n+1}+\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}.$
[/mm]
Um [mm] $\left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|$ $<\,$ $\frac{1}{10^{1000}}$ [/mm] "zu erzwingen", reicht es also, [mm] $\frac{\sqrt{n}}{n+1}+\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{n+1} <\, \frac{1}{10^{1000}}$ [/mm] "zu
erzwingen"!!)
(Die letzte Ungleichung ist zwar nicht notwendig, wohl aber hinreichend
für die Gültigkeit der Ungleichung in (*) - daher auch der Hinweis in der
Aufgabenstellung!)
P.S. Man kann natürlich auch noch
[mm] $\frac{\sqrt{n}}{n+1}$ $\le$ $\frac{\sqrt{n}}{n}$
[/mm]
und
[mm] $\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}$ $\le$ $\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{n}$
[/mm]
verwenden.
P.P.S. Eigentlich wäre es noch einfacher, wenn man für $n [mm] \ge x_0$ [/mm] einfach
[mm] $\left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|$ $=\,$ $\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}$ $\le$ $\frac{\sqrt{n}}{n+1}$ $\le$ $\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}$
[/mm]
benutzt!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Fr 16.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
> Bis hierhin ist das okay! Was Du danach gemacht hast,
> erschließt sich mir
> nicht.
Hallo Marcel,
Das konntest du auch nicht verstehen. Ich hab da Blödsinn gemacht. Ich war der Ansicht, etwas kleineres als
[mm] \left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|
[/mm]
abschätzen zu müssen. Dabei muss ich ja etwas größeres abschätzen, damit mein n größer wird, als das kleinstmögliche n, welches die Bedingung erfüllt. Kopfknoten!!! :-( Manchmal echt deprimierend
... und ich dachte langsam hätte ich das drauf.
> Mach' es einfach so weiter:
>
> [mm]\left|\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}\right|<\frac{n+1}{{10}^{1000}}[/mm]
> [mm]\iff[/mm]
> [mm]\left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|<\frac{1}{{10}^{1000}}.[/mm]
> (Edit: Ich sehe gerade, dass wir so einmal "im Kreis
> gerechnet" haben -
> erspare Dir also schon die vorherige Multiplikation mit
> [mm]n+1\,[/mm] - sonst wird
> das einfach nur unübersichtlich und verwirrend - und
> rechne selbst bis zu
> dem obigen Schritt. Bzw. der steht ja auch bei Dir schon
> da...)
>
> Nun gilt aber auch
>
> (*) [mm]\left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|[/mm] [mm]\le[/mm]
> [mm]\left|\frac{\sqrt{n}}{n+1}\right|+\left|\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|[/mm]
> [mm]=\frac{\sqrt{n}}{n+1}+\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}.[/mm]
>
> Um [mm]\left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|[/mm] [mm]<\,[/mm]
> [mm]\frac{1}{10^{1000}}[/mm] "zu erzwingen", reicht es also,
> [mm]\frac{\sqrt{n}}{n+1}+\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{n+1} <\, \frac{1}{10^{1000}}[/mm]
> "zu
> erzwingen"!!)
>
> (Die letzte Ungleichung ist zwar nicht notwendig, wohl aber
> hinreichend
> für die Gültigkeit der Ungleichung in (*) - daher auch
> der Hinweis in der
> Aufgabenstellung!)
hinreichend
Ich habe den Ausdruck schon öfter in Fachbüchern gelesen, bin mir aber nicht sicher, was ich darunter verstehen soll.
Ich mache dann noch mal eine neue Abschätzung und stelle diese dann neu rein.
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Micha,
> > (Die letzte Ungleichung ist zwar nicht notwendig, wohl aber
> > hinreichend
> > für die Gültigkeit der Ungleichung in (*) - daher auch
> > der Hinweis in der
> > Aufgabenstellung!)
>
> hinreichend
> Ich habe den Ausdruck schon öfter in Fachbüchern gelesen,
> bin mir aber nicht sicher, was ich darunter verstehen
> soll.
na, wenn Du eine (wahre) Folgerung
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
hast, so heißt [mm] $A\,$ [/mm] HINREICHEND für [mm] $B\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] notwendig für [mm] $A\,.$
[/mm]
Das passt eigentlich auch gut zur Sprache:
Beispiel: Seien die Aussagen [mm] $A:\,$ [/mm] $x > [mm] 2\,$, $B:\,$ $x^2 [/mm] > 4$ und [mm] $C:\,$ [/mm] $|x| > [mm] 2\,$ [/mm] für
eine reelle Zahl [mm] $x\,$ [/mm] (d.h. diese Voraussetzung sei "universell") gegeben.
Dann ist $A$ hinreichend für [mm] $B\,,$ [/mm] denn die Folgerung
$x > [mm] 2\,$ $\Rightarrow$ $x^2 [/mm] > 4$
ist wahr. Also ist auch [mm] $B\,$ [/mm] notwendig für [mm] $A\,.$
[/mm]
(Sprache:
- bzgl. hinreichend: Es reicht, $x > [mm] 2\,$ [/mm] zu wissen, um [mm] $x^2 [/mm] > 4$ zu erhalten.
- bzgl. notwendig: Es muss (notwendig) [mm] $x^2 [/mm] > 4$ sein, wenn wir $x > [mm] 2\,$ [/mm] haben.)
Die Folgerung $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ wäre aber falsch (in diesem Sinne ist [mm] $A\,$ [/mm] zwar
hinreichend für [mm] $B\,,$ [/mm] nicht aber notwendig): Warum?
Tatsächlich ist [mm] $B\,$ [/mm] aber GLEICHWERTIG (äquivalent) zu [mm] $C\,.$ [/mm] Man sagt auch,
dass [mm] $B\,$ [/mm] durch [mm] $C\,$ [/mm] charakterisiert werde. Das bedeutet dann, dass
[mm] $B\,$ [/mm] sowohl hinreichend als auch notwendig für [mm] $C\,$ [/mm] ist; mit anderen Worten:
Es gilt sowohl die Folgerung $B [mm] \Rightarrow [/mm] C$ als auch die Folgerung $C [mm] \Rightarrow [/mm] B$ (letzteres
schreibt man auch als $B [mm] \Leftarrow [/mm] C$).
Nichts anderes steckt in der zugehörigen Symbolik $B [mm] \iff C\,.$
[/mm]
P.S.
https://matheraum.de/read?i=963011
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Fr 16.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo,
das habe ich verstanden. Erst ein mal die restliche Abschätzung, die Marcel, ja nun schon vorgemacht hat:
[mm] $\left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|<$$\frac{\sqrt{n}}{n+1}-\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}$\\
[/mm]
[mm] $<\frac{\sqrt{n}}{n+1}<\frac{1}{\sqrt{n}}$$<\frac{1}{{10}^{1000}} \qquad\Rightarrow$\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] $\frac{1}{\sqrt{n}}$$<\frac{1}{{10}^{1000}} \qquad \Leftrightarrow 10^{1000}<\sqrt{n}\qquad \Leftrightarrow 10^{2000}
Damit gilt für alle [mm] n>10^{2000} \qquad [/mm] $ [mm] |a_n-a|< 10^{-1000} [/mm] $.
Vielen Dank für die beiden Artikel. Ist dort gut erklärt.
Ich mache mal ein Beispiel mit eigenen Worten, damit ich auch weiß, daß ich richtig liege:
Sei die Aussage A:= [mm] \sum {a_n} [/mm] konvergiert
und die Aussage B:= [mm] a_n [/mm] ist eine Nullfolge,
So kann man sagen: A [mm] \Rightarrow [/mm] B
Somit ist es [mm] \textbf{hinreichend}, [/mm] daß [mm] \sum {a_n} [/mm] konvergiert, um zu wissen, daß [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist.
Es ist auch [mm] \textbf{notwendig}, [/mm] daß [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist, damit [mm] \sum {a_n} [/mm] konvergieren kann.
Aber es wäre [mm] \red{FALSCH} [/mm] zu schreiben, daß wenn [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist, dieses ein [mm] \textbf{hinreichendes} [/mm] Kriterium ist, dass [mm] \sum {a_n} [/mm] konvergiert.
PS: Wenigstens klappt Latex mittlerweile etwas besser
Vielen Dank,
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> das habe ich verstanden. Erst ein mal die restliche
> Abschätzung, die Marcel, ja nun schon vorgemacht hat:
>
>
> [mm]\left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}\right|<[/mm][mm]\frac{\sqrt{n}}{n+1}-\frac{\sqrt{{x}_{0}}}{n+1}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]<\frac{\sqrt{n}}{n+1}<\frac{1}{\sqrt{n}}[/mm][mm]<\frac{1}{{10}^{1000}} \qquad\Rightarrow[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\frac{1}{\sqrt{n}}[/mm][mm]<\frac{1}{{10}^{1000}} \qquad \Leftrightarrow 10^{1000}<\sqrt{n}\qquad \Leftrightarrow 10^{2000}
>
> Damit gilt für alle [mm]n>10^{2000} \qquad[/mm] [mm]|a_n-a|< 10^{-1000} [/mm].
so ist's! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Fast; es gibt noch eine Kleinigkeit: Du solltest nur beachten, dass Du
dabei o.E. [mm] $\sqrt{n} \ge \sqrt{x_0}$ [/mm] annimmst - ansonsten wähle ein [mm] $n_1 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\sqrt{n_1} \ge \sqrt{x_0}$ [/mm]
(Du brauchst nur die Existenz eines solchen begründen) und setze dann
[mm] $n_0:=\max\{n_1,\;10^{2000}\}+1\,.$
[/mm]
Nebenbei: Man kann auch konkret [mm] $n_1:=\lfloor x_0\rfloor [/mm] +1$ setzen!)
>
> Vielen Dank für die beiden Artikel. Ist dort gut
> erklärt.
>
>
> Ich mache mal ein Beispiel mit eigenen Worten, damit ich
> auch weiß, daß ich richtig liege:
>
> Sei die Aussage A:= [mm]\sum {a_n}[/mm] konvergiert
> und die Aussage B:= [mm]a_n[/mm] ist eine Nullfolge,
>
> So kann man sagen: A [mm]\Rightarrow[/mm] B
> Somit ist es [mm]\textbf{hinreichend},[/mm] daß [mm]\sum {a_n}[/mm]
> konvergiert, um zu wissen, daß [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist.
> Es ist auch [mm]\textbf{notwendig},[/mm] daß [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge
> ist, damit [mm]\sum {a_n}[/mm] konvergieren kann.
> Aber es wäre [mm]\red{FALSCH}[/mm] zu schreiben, daß wenn [mm]a_n[/mm] eine
> Nullfolge ist, dieses ein [mm]\textbf{hinreichendes}[/mm] Kriterium
> ist, dass [mm]\sum {a_n}[/mm] konvergiert.
Genau: Dazu betrachte man einfach [mm] $a_n=1/n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$).
[/mm]
> PS: Wenigstens klappt Latex mittlerweile etwas besser
Na, das sieht doch alles nun gut aus.
P.S. Eine Kleinigkeit noch: Man schreibt besser, dass [mm] $(a_n)$ [/mm] (oder [mm] ${(a_n)}_{n \ge n_0}$ [/mm] oder
[mm] ${(a_n)}_{n=n_0}^\infty$ [/mm] oder [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] oder oder...) eine Folge sei. Denn eigentlich ist [mm] $a_n$
[/mm]
das Folgeglied der Folge [mm] $(a_k)_k,$ [/mm] welches den Index [mm] $n\,$ [/mm] trägt.
Das ist aber ähnlich zu der Sprechweise, dass [mm] $x^2$ [/mm] eine Funktion sei (meist
reicht's bei dieser Sprechweise schon, dass man weiß, welcher Definitionsbereich
aus dem Zusammenhang heraus gemeint ist. Ebenso spricht man ja auch
von der Funktion [mm] $f(x)\,,$ [/mm] auch, wenn es in Wahrheit falsch ist und es
besser wäre, dass man von der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] spricht...
Denn eigentlich ist [mm] $f(x)\,$ [/mm] die Auswertung der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x\,;$ [/mm]
und wenn man das "absolut richtig, aber ohne Zusammenhang liest", so
bedeutet etwa die Aussage "Wir betrachten die Funktion $f(x)$ mit..." eigentlich:
'Wir betrachten die Funktion "Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ausgewertet an der Stelle [mm] $x\,$" [/mm] mit ...'.
Ziemlich sinnlos, oder? )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Fr 16.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ja, ich hatte auch nur die Kurzfassung getippt
Ist für mich sehr wichtig, über Mathematik zu sprechen/schreiben.
Super Forum hier,
Micha
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Wikipedia-Artikel