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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - näherungswert tot differenzial
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näherungswert tot differenzial: näherungswert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 So 17.01.2010
Autor: c3po

Aufgabe
Bestimmen Sie zu  f(x,y) = [mm] x^y [/mm] die Tangentialebene (2,3). Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials den Näherungswert 2,2^(1,9)

Hallo allerseits,

ich hätte eine Frage zum Lösungsweg zum Näherungswert über das totale Differential mithilfe der Tangentialebene .

Die lsg der Tangentialebene müsste T(2,3) = 8*12(x-2) + 8*ln3(y-3) sein

aber wie komme ich auf den vorgebenenen Näherungswert, da laut Formel
für totale Diferenziale
[mm] \Delta [/mm] z [mm] =f_{x}(x_{0},y_{0})*dx+f_{y}(x_{0},y_{0})*dy [/mm]

ich dann dort stecken bleibe:  [mm] \Delta [/mm] z = 2.2^(1,9) =12*dx +  8*ln3* dy
wie erhalte ich hier dy und dx?

Vielen Dank im Voraus für die Annahme meines Problems!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
näherungswert tot differenzial: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 So 17.01.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Bestimmen Sie zu  f(x,y) = [mm]x^y[/mm] die Tangentialebene (2,3).
> Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials den
> Näherungswert 2,2^(1,9)
>  Hallo allerseits,
>  
> ich hätte eine Frage zum Lösungsweg zum Näherungswert
> über das totale Differential mithilfe der Tangentialebene
> .
>
> Die lsg der Tangentialebene müsste T(2,3) = 8*12(x-2) +
> 8*ln3(y-3) sein

Nein.  Schreib mal auf, wie du darauf kommst.

>  
> aber wie komme ich auf den vorgebenenen Näherungswert, da
> laut Formel
>  für totale Diferenziale
>  [mm]\Delta[/mm] z [mm]=f_{x}(x_{0},y_{0})*dx+f_{y}(x_{0},y_{0})*dy[/mm]
>  
> ich dann dort stecken bleibe:  [mm]\Delta[/mm] z = 2.2^(1,9) =12*dx
> +  8*ln3* dy
>  wie erhalte ich hier dy und dx?

Warum hast du die Tangentialebene im Punkt $(2,3)$ bestimmt?  Die Näherungsformel ist nichts anderes als die Approximation der Funktion durch ihre Tangentialebene. Also musst du von [mm] $(x_0,y_0)= [/mm] (2,3)$ ausgehen.

Bist du sicher, dass es nicht entweder der Punkt $(2,2)$ oder der Exponent $2,9$ ist?

  Viele Grüße
    Rainer



Bezug
                
Bezug
näherungswert tot differenzial: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:14 So 17.01.2010
Autor: c3po

Hallo Rainer, erstmal danke für deine Zeitaufopferung!

also der näherungswert ist 2,2^(1,9)
und die Stelle muss (2,3 ) sein.

Die Tangentialebene habe ich folgendermaßen berechnet:

[mm] f_{x}(x,y)= [/mm] y*x^(y-1)  und [mm] f_{y}(x,y)= [/mm] x^(y) *lny

Formel für Tangentialebene: T(x,y) = [mm] f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})*(x-x0) [/mm] + [mm] f_{y}(x_{0},y_{0})* (y-y_{0},) [/mm]

folglich:  T(2,3)  2^(3)  + [mm] 3*2^{2}*(x-2) [/mm] + [mm] 2^{3}*ln3 [/mm] (y-3)


wg der approximation = 2; ich kann doch  nicht 2 u. 3 für dx und dy einsetzen, da dies ja nur die "verlängerungen" sind

Bezug
                        
Bezug
näherungswert tot differenzial: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 So 17.01.2010
Autor: rainerS

Hallo c3po!

> Hallo Rainer, erstmal danke für deine Zeitaufopferung!
>  
> also der näherungswert ist 2,2^(1,9)
>  und die Stelle muss (2,3 ) sein.
>  
> Die Tangentialebene habe ich folgendermaßen berechnet:
>  
> [mm]f_{x}(x,y)= y*x^{y-1}[/mm]  und [mm]f_{y}(x,y)= x^y *\ln y[/mm]
>  
> Formel für Tangentialebene: [mm]T(x,y) = f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})*(x-x0) + f_{y}(x_{0},y_{0})* (y-y_{0},)[/mm]
>  
> folglich: [mm] T(2,3) 2^(3) + 3*2^{2}*(x-2) + 2^{3}*ln3 (y-3)[/mm]

OK, jetzt stimmt's; in deinem ersten Post stand da kein Pluszeichen.

> wg der approximation = 2; ich kann doch  nicht 2 u. 3 für
> dx und dy einsetzen, da dies ja nur die "verlängerungen"
> sind

Sollst du ja auch nicht. Was ist [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] hier, was ist $(x,y)$ ? Und dann nur einsetzen.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
näherungswert tot differenzial: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 So 17.01.2010
Autor: c3po

Also setze ich nun dann T = 0 und löse nach x und  y auf und setze diese für dx und dy  in das totale Differenzial ein?!

Vielen Dank

Bezug
                                        
Bezug
näherungswert tot differenzial: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 So 17.01.2010
Autor: rainerS

Hallo!

Beantworte dir doch mal die Frage: welche Werte haben hier [mm] $x_0$, $y_0$ [/mm] und $(x,y)$ ?

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                                                
Bezug
näherungswert tot differenzial: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 So 17.01.2010
Autor: c3po

Der Wert für [mm] x_{0} [/mm]  ist ja 2 und [mm] y_{0} [/mm] = 3.

dann müsste x = 2+ dx sein und  y = 3+dy

aber so kann ich noch immer nicht den Näherungswert berechnen!

ich  weiß nicht weiter...

Bezug
                                                        
Bezug
näherungswert tot differenzial: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 So 17.01.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Der Wert für [mm]x_{0}[/mm]  ist ja 2 und [mm]y_{0}[/mm] = 3.
>  
> dann müsste x = 2+ dx sein und  y = 3+dy
>  
> aber so kann ich noch immer nicht den Näherungswert
> berechnen!

Der Näherungswert ist $T(x,y)$. Also setzt du nur noch x=2,2 und y=1,9 ein.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                                                
Bezug
näherungswert tot differenzial: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:27 So 17.01.2010
Autor: c3po

Ach Gott- vielen Dank! und schönes Wochenende!

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