natürliche Zahl n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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könnt ihr mir helfen?
Man beweise, dass es eine naturliche Zahl
n0≥2^1001
gibt , so dass fur alle naturlichen Zahlen
n≥n0
gilt:
[mm] 2^n≥n^2
[/mm]
wie fange ich diesen Beweis an. Später kann ich [mm] 2^n>n^2 [/mm] ja zu einer Logarhytmusfuntion umformen. aber wie beginne ich und wie setzte ich fort?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Fr 01.11.2013 | | Autor: | abakus |
> könnt ihr mir helfen?
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> Man beweise, dass es eine naturliche Zahl
> n0≥2^1001
> gibt , so dass fur alle naturlichen Zahlen
> n≥n0
> gilt:
> [mm]2^n≥n^2[/mm]
>
>
> wie fange ich diesen Beweis an. Später kann ich [mm]2^n>n^2[/mm] ja
> zu einer Logarhytmusfuntion umformen. aber wie beginne ich
> und wie setzte ich fort?
Hallo,
[mm] $2^n>n^2$ [/mm] gilt bereits ab n=5 (und lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen).
Gruß Abakus
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Hallo,
> könnt ihr mir helfen?
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> Man beweise, dass es eine naturliche Zahl
> n0≥2^1001
> gibt , so dass fur alle naturlichen Zahlen
> n≥n0
> gilt:
> [mm]2^n≥n^2[/mm]
>
>
> wie fange ich diesen Beweis an. Später kann ich [mm]2^n>n^2[/mm] ja
> zu einer Logarhytmusfuntion umformen.
Es heißt: Logarithmusfunktion, aber wir können hier nichts damit anfangen (sie ist an dieser Stelle auch mit ziemlicher Sicherheit noch gar nicht definiert!).
> aber wie beginne ich
> und wie setzte ich fort?
Wie abakus schon gesagt hat, gilt diese Ungleichung ab [mm] n_0=5. [/mm] Somit gilt sie auch ab [mm] n_0=157 [/mm] oder [mm] n_0=2^{2001}
[/mm]
Man zeigt sie per vollständiger Induktion. Der Anfang ist leicht gemacht:
Induktionsanfang (n=5):
[mm] 2^5=32>25=5^2
[/mm]
Setze jetzt mal einen Induktionsschluss an und versuche, ihn zu beweisen. Wenn ich es richtig im Kopf habe. ist die Bernoulli-Ungleichung hier eine ziemlich gute Hilfe.
Gruß, Diophant
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ok. Dann ersetzte ich n also durch n+1:
dann folgt laut Induktion
[mm] 2^{n+1}\ge [/mm] (n+1)²
[mm] =2^n [/mm] + 2 [mm] \ge [/mm] n²+2n+1
=n² *2 [mm] \ge [/mm] n²+2n+1
und wie mache ich weiter?
und was bringt mir das im Bezug zur restlichen Aufgabe?
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Hallo,
> ok. Dann ersetzte ich n also durch n+1:
> dann folgt laut Induktion
> [mm]2^{n+1}\ge[/mm] (n+1)²
> [mm]=2^n[/mm] + 2 [mm]\ge[/mm] n²+2n+1
> =n² *2 [mm]\ge[/mm] n²+2n+1
Das ist Unsinn. Erstens 'folgt' hier noch gar nichts, du hast nur n+1 eingesetzt. Zweitens heißt die Ungleichheit > und nicht [mm] \ge.
[/mm]
Und drittens, und das ist natürlich der dickste Schnitzer:
[mm] 2^{n+1}=2*2^n\ne 2^n+2
[/mm]
Studiere also erst einmal gründlich die Potenzgesetze, und dann mache hier weiter.
PS: was sollen diese unsinnigen Gleichheitszeichen zu Beginn jeder Zeile?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Fr 01.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> > ok. Dann ersetzte ich n also durch n+1:
> > dann folgt laut Induktion
> > [mm]2^{n+1}\ge[/mm] (n+1)²
> > [mm]=2^n[/mm] + 2 [mm]\ge[/mm] n²+2n+1
> > =n² *2 [mm]\ge[/mm] n²+2n+1
>
> Das ist Unsinn. Erstens 'folgt' hier noch gar nichts, du
> hast nur n+1 eingesetzt. Zweitens heißt die Ungleichheit >
> und nicht [mm]\ge.[/mm]
Hallo Diophant,
die Originalaufgabe hatte das Symbol [mm] $\ge$, [/mm] damit gilt es sogar schon mit n=4. Ab n=5 braucht man das Gleichheitszeichen nicht mehr, aber es ist nicht falsch, weiterhin mit [mm] $\ge$ [/mm] zu arbeiten.
>
> Und drittens, und das ist natürlich der dickste
> Schnitzer:
>
> [mm]2^{n+1}=2*2^n\ne 2^n+2[/mm]
Wie wahr!
Gruß Abakus
>
> Studiere also erst einmal gründlich die Potenzgesetze, und
> dann mache hier weiter.
>
> PS: was sollen diese unsinnigen Gleichheitszeichen zu
> Beginn jeder Zeile?
>
>
> Gruß, Diophant
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ja die Potenzgesetzte sind mir klar. dann lautet das Ende der Ungleichung also:
[mm] 2^n [/mm] * [mm] 2\ge [/mm] (n+1)²
[mm] n^2 [/mm] * [mm] 2\ge [/mm] (n+1)²
so müsste es doch stimmen oder? da laut Potenzgesetzt gilt: a²*a³= [mm] a^5
[/mm]
und wie forme ich diese Ungleichung weiter um? und wie setzte ich sie in Verbindung mit demRest der Aufgabe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Fr 01.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.. zeige dass die Ungl für ein von dir gewähltes [mm] n_0 [/mm] gilt.
2. schreib klar hin was die Ind. Vors ist.
dann sag was du beweisen willst.
Dann sag, wo du die Ind, Vors. benutzt.
bei dir steht ein wildes Gemisch davon.
geh von der IndVors aus und versuche von da aus die Beh zu erreichen und misch die 2 nicht.
Gruss leduart
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leider verstehe ich nicht was du mir sagen möchtest. kann vielleicht noch jemand anderes auf meine Frage antworten und mir sagen wie ich die Induktion fortsetzte und wie ich sie im Bezug zur Aufgabe sehen kann und mir gegebenfalls einen weiteren Ansatz für die Weiterführung nennen?
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> leider verstehe ich nicht was du mir sagen möchtest. kann
> vielleicht noch jemand anderes auf meine Frage antworten
> und mir sagen wie ich die Induktion fortsetzte und wie ich
> sie im Bezug zur Aufgabe sehen kann und mir gegebenfalls
> einen weiteren Ansatz für die Weiterführung nennen?
Hallo,
naja, ich finde, daß leduart Dir den einzig sinnvollen Rat für den Moment gibt:
Schreib alles mal ordentlich, vollständig, ohne irgendas wegzulassen, auf.
Sonst bringst Du Dich bloß selbst durcheinander.
Also:
Zu beweisen ist die
Behauptung:
[mm] 2^n>n^2 [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 5.
Induktionsanfang: ...
Induktionsvoraussetzung:
Es gelte [mm] 2^n>n^2 [/mm] für ein [mm] n\ge [/mm] 5.
Induktionsschluß:
zu zeigen: unter dieser Voraussetzung gilt auch
[mm] 2^{n+1}>(n+1)^2.
[/mm]
Bew.
Es ist
[mm] 2^{n+1}=...=...>...>...=...=...>...=(n+1)^2.
[/mm]
Du mußt also eine Ungleichungskette aufstellen, in deren Verlauf Du die Induktionsvoraussetzung verwendest.
LG Angela
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okay danke. nur wie setzte ich das alles in Verbindung zu n0 [mm] \ge [/mm] 2^1001 ?
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> okay danke. nur wie setzte ich das alles in Verbindung zu
> n0 [mm]\ge[/mm] 2^1001 ?
Hallo,
darf ich davon ausgehen, daß Du inzischen gezeigt hast, daß die Aussage für alle [mm] n\ge [/mm] 5 gilt?
Dann gilt sie natürlich auch für [mm] n_0=2^{2013}+5 [/mm] und für alle Zahlen, die größer als dieses [mm] n_0 [/mm] sind.
LG Angela
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Wie kommst du auf 2^(1013) + 5?
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> Wie kommst du auf 2^(1013) + 5?
Hallo,
Du sollst doch eine Zahl [mm] n_0 [/mm] sagen, die größer als [mm] 2^{1001} [/mm] ist und die Eigenschaft hat, daß für sie und alle nat. Zahlen, die nochgrößer sind, gilt [mm] 2^n>n^2.
[/mm]
Nun hattest Du ja (hoffentlich) bewiesen, daß [mm] 2^n [/mm] für alle Zahlen gilt, die größer als 5 sind.
Also gilt die Aussage auch für [mm] n_0=2^{1013} [/mm] + 5 und alle nat. Zahlen die größer sind.
Offenbar ist mein [mm] n_0 [/mm] auch größer als [mm] 2^{1001}, [/mm] erfüllt also alle Bedingungen.
Ich hätte auch [mm] 2^{1001}+4711 [/mm] nehmen können oder [mm] 2^{1001} [/mm] oder [mm] 123456^{1002}.
[/mm]
LG Angela
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bei der Induktion bin ich jetzt so weit und kome leider nicht weiter:
Induktionsschritt:
2^(n+1) [mm] \ge [/mm] (n+1)²
2^(n) * 2 [mm] \ge [/mm] (n+1)²
n² * 2 [mm] \ge [/mm] n² + 2n + 1
n² [mm] \ge [/mm] 2n +1
wie mache ich nun weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Fr 01.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> bei der Induktion bin ich jetzt so weit und kome leider
> nicht weiter:
> Induktionsschritt:
> 2^(n+1) [mm]\ge[/mm] (n+1)²
> 2^(n) * 2 [mm]\ge[/mm] (n+1)²
> n² * 2 [mm]\ge[/mm] n² + 2n + 1
> n² [mm]\ge[/mm] 2n +1
>
> wie mache ich nun weiter?
Am Besten du machst eine Ungleichungskette.
[mm] 2^{n+1}=2^{n}\cdot2^{1}=2^{n}\cdot2\stackrel{I.V.}{\ge}n^{2}\cdot2=2n^{2}\stackrel{>}{=}\ldots(n+1)^{2}
[/mm]
Löse vielleicht mal das Ziel (n+1)² auf, dann solltest du die Pünktchen schon füllen können. Diese Kette hat Angela dir schon einmal vorgeschlagen.
Du schreibst, dass du im Hauptstudium bist, da darf ein recht simpler Induktionsbeweis kein Problem darstellen, das Prinzip muss aber definitiv bekannt sein, das scheint mir leider nicht der Fall zu sein.
Marius
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Ich bin seit 3 Wochen am studieren :D
naja also ich habe die Ungleichung jetzt aufgelöst und dort steht :
1+(Wurzel 2) [mm] \ge [/mm] 0 und 1-(Wurzel 2) [mm] \ge [/mm] 0
was mache ich denn nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Robin!
Seit 3 Wochen im Hauptstudium? Dann gab es doch zuvor ein Grundstudium ... sei's drum ...
> naja also ich habe die Ungleichung jetzt aufgelöst und
> dort steht :
> 1+(Wurzel 2) [mm]\ge[/mm] 0 und 1-(Wurzel 2) [mm]\ge[/mm] 0
> was mache ich denn nun?
Das frage ich mich auch gerade. ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Was hast Du denn da wie gerechnet?
Aus dem Ausdruck [mm] $2*n^2 [/mm] \ = \ [mm] n^2+n^2$ [/mm] solltest Du so abschätzen, dass nachher da steht: $... \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] n^2+2*n+1 [/mm] \ = \ [mm] (n+1)^2$ [/mm] .
Also muss hier "nur" noch gezeigt werden, dass gilt: [mm] $n^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 2*n+1$ .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Sa 02.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du bist mit 3 Wochen studieren im Grundstudium mit Hauptfach----
dass [mm] n^2>2n+1 [/mm] kannst du mit einer neuen Induktion zeigen, da ja schon n>4 ist.
Gruss leduart
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> bei der Induktion bin ich jetzt so weit und kome leider
> nicht weiter:
> Induktionsschritt:
> 2^(n+1) [mm]\ge[/mm] (n+1)²
> 2^(n) * 2 [mm]\ge[/mm] (n+1)²
> n² * 2 [mm]\ge[/mm] n² + 2n + 1
> n² [mm]\ge[/mm] 2n +1
>
> wie mache ich nun weiter?
Hallo,
ich finde das nicht witzig:
ich habe Dir doch einen Rohling für den Beweis hingeschrieben und Dir gesagt, daß Du eine Ungleichungskette machen sollst, und ich frage mich echt, wofür ich mir die Mühe gemacht habe...
Ich hoffe, daß die Tatsache, daß Du die Behauptung, den Induktionsanfang und die Induktionsannahme nicht mitnotierst, zu bedeuten hat, daß Dir dies alles sonnenklar ist.
[mm] 2^{n+1}=2^n*2=2^n+2^n>n^2+n^2 \qquad( [/mm] Induktionsvoraussetzung [mm] verwendet)\quad =n^2+n*n> n^2+4n \qquad (warum?)\quad =n^2+3n+n >...>...=(n+1)^2.
[/mm]
LG Angela
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natürlich habe ich mir alles durchgelesen. ich bin nur erst seit 3 Wochen im erstens Semester in Mathe und mit Mathe als weiteres Fach. Leider verstehe ich daher nicht alles auf Anhieb.
Induktionsanfang ist:
A1: 2^(4) [mm] \ge [/mm] 4²
Induktionsschritt:
2^(n+1)\ ge (n+1)²
2^(n+1)=2*2^(n) [mm] \ge [/mm] n²+n² = n²+n*n [mm] \ge [/mm] n²+4n
nur wie schließt du in der Induktionsvoraussetzung von n²+3n+n auf (n+1)?
PS: Ich lese mir alles gut durch. nur dies hier ist meine erste Induktion...tut mir leid
stimmt das so?
2 Frage:
Wie kommst du auf die 4n?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Sa 02.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> natürlich habe ich mir alles durchgelesen. ich bin nur
> erst seit 3 Wochen im erstens Semester in Mathe und mit
> Mathe als weiteres Fach. Leider verstehe ich daher nicht
> alles auf Anhieb.
> Induktionsanfang ist:
> A1: 2^(4) [mm]\ge[/mm] 4²
>
> Induktionsschritt:
> 2^(n+1)\ ge (n+1)²
> 2^(n+1)=2*2^(n) [mm]\ge[/mm] n²+n² = n²+n*n [mm]\ge[/mm] n²+4n
>
> nur wie schließt du in der Induktionsvoraussetzung von
> n²+3n+n auf (n+1)?
Es gilt, überlege in jedem Schritt mal, warum:
[mm] 2n^{2}=n^{2}+n^{2}=n^{2}+n\cdot n\stackrel{n>4}{>}n^{2}+n=n^{2}+3n=n^{2}+2n+n=n^{2}+2n+1-1+n=(n+1)^{2}+(n-1)>(n+1)^{2}
[/mm]
>
> PS: Ich lese mir alles gut durch. nur dies hier ist meine
> erste Induktion...tut mir leid
>
> stimmt das so?
> 2 Frage:
> Wie kommst du auf die 4n?
Die 4n werden irgendwann in der Kette mal benötigt.
Marius
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erstmal: Vielen dank
also die Schritte bis zu n²+n*n sind mir klar
allerdings ist mir einiges unklar und wenn es okay ist würde ich gerne konkret danach fragen:
1. Wie kommst du dann aufeinmal auf n [mm] \ge [/mm] 4 ? und wieso kann ich aufgrund von [mm] n\ge [/mm] 4 den Term n²+ n*n [mm] \ge [/mm] schreiben? darf ich das einfach nur aus rein logischen Gründen? denn es ist ja vollkommen logisch das n² + n+n größer ist als n²+n
2. was kann ich dann am Ende aus (n+1)² + (n-1)² [mm] \ge [/mm] (n+1)² Schlussfolgern?und wie mache ich weiter? was das schon die Induktion? denn eigentlich müsste doch am Ende wieder (n+1)² rauskommen und nicht (n+1)² + (n-1)² oder?
3. Wie mache ich weiter?
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ja ok. das verstehe ich. Allerdings habe ich zu einem Schritt eine Frage:
ich führe nochmal alle Schritte auf:
2^(n+1)=n²+n² (logisch)
=n² + n*n [mm] \ge [/mm] n² + n (Wie kommst du auf n²+n?)
=n²+3n (Woher hast du jetzt die 3n? vorher sprachst du doch von 4n?
Der restliche Verlauft erscheint mir dann wieder klar. deshalb führe ich diesen nun nicht gesondert auf.
Ja, wie gesagt es ist meine erste Induktion. Ich werde es in Zukunft an einigen Beispielen üben. aber ein Musterbeispiel wie dieses mit vollständiger Lösung bringt mich schon etwas weiter.
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> ja ok. das verstehe ich. Allerdings habe ich zu einem
> Schritt eine Frage:
> ich führe nochmal alle Schritte auf:
> 2^(n+1)=n²+n² (logisch)
Hallo,
nein, das ist nicht logisch, sondern grottenfalsch.
Ich verliere gerade hier im lustigen Treiben den Überblick.
Beweist Du eigentlich gerade, daß
[mm] 2^n>n^2 [/mm] für alle n>4 (ist dasselbe wie [mm] n\ge [/mm] 5),
oder beweist Du, daß
[mm] 2^n\ge n^2 [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 4?
Das sollte Dir zu jeder Zeit klar sein.
Richtig sind beide Aussagen, aber für die Abschätzung macht's an einer Stelle einen Unterschied.
Ich nehme die erste Aussage.
Richtig ist
[mm] 2^{n+1}=2^n+2^n
[/mm]
> =n² + n*n [mm]\ge[/mm] n² + n (Wie kommst du auf n²+n?)
Na! Wenn ich zu [mm] n^2 [/mm] n-mal die Zahl n addiere, ist das ja wohl mehr, als wenn ich zu [mm] n^2 [/mm] nur einmal die Zahl n addiere, oder?
Allerdings ist diese Abschätzung erstens nicht zielführen, und zeitens ist die nun folgende Gleichung
[mm] n^2+n
[/mm]
> =n²+3n
dann grausig falsch.
Ich denke, oben ist eine 4 verlorengegangen.
Richtig wäre:
[mm] 2^{n+1}
[/mm]
[mm] =2^n+2^n
[/mm]
> [mm] n^2+n^2 \qquad [/mm] (Induktionsvoraussetzung)
[mm] =n^2+n*n
[/mm]
> [mm] n^2+4*n \qquad [/mm] (n ist größer als 4. Siehe Indutionsvoraussetzung)
[mm] =n^2+3n+n
[/mm]
[mm] >n^2+2n+n \qquad [/mm] (weil 3>2)
[mm] >n^2+2n+1 \qquad [/mm] (weil n>1)
[mm] =(n+1)^2
[/mm]
LG Angela
P.S.: Du solltest Dein Profil mal richtig einstellen. Mathelehrer mag Dein Ziel sein, aber im Moment wäre "Mathestudent im Grundstudium" richtig.
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