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| Aufgabe | | Berechne einen natürlichen Spline, der den Cosinus an den Stellen [mm] x_{k}=k\pi/2 [/mm] (k=0, 1, 2) interpoliert. |
Hallo!
Damit gilt ja:
k: 0 , 1 , 2
[mm] x_{k}: [/mm] 0 , [mm] \pi/2 [/mm] , [mm] \pi
[/mm]
[mm] cos(x_{k}): [/mm] 1 , 0 , -1
aber wie bilde ich jetzt den spline?
Hat das was mit den 4n Bedingungen zu tun?
Also: [mm] s_{j}(x_{j-1})=y_{j-1} [/mm] usw....?
Kann mir hier jemand weiter helfen?
Grüßle, Lily
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> Berechne einen natürlichen Spline, der den Cosinus an den
> Stellen [mm]x_{k}=k\pi/2[/mm] (k=0, 1, 2) interpoliert.
> Hallo!
> Damit gilt ja:
> k: 0 , 1 , 2
> [mm]x_{k}:[/mm] 0 , [mm]\pi/2[/mm] , [mm]\pi[/mm]
> [mm]cos(x_{k}):[/mm] 1 , 0 , -1
>
> aber wie bilde ich jetzt den spline?
> Hat das was mit den 4n Bedingungen zu tun?
> Also: [mm]s_{j}(x_{j-1})=y_{j-1}[/mm] usw....?
>
> Kann mir hier jemand weiter helfen?
Hallo,
Dein Spline besteht aus zwei kubischen Polynomen
[mm] s_1(x)=a_1x^3+b_1x^2+c_1x+d_1 [/mm] und
[mm] s_2(x)=a_2x^3+b_2x^2+c_2x+d_2
[/mm]
mit folgenden Eigenschaften:
der Graph von [mm] s_1 [/mm] geht durch (0|1) und [mm] (\pi/2 [/mm] |0),
der von [mm] s_2 [/mm] durch [mm] (\pi/2 [/mm] |0) und [mm] (\pi|-1),
[/mm]
an der "Nahtstelle" [mm] (\pi/2 [/mm] |0) stimmen die 1. und 2.Ableitung von [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] überein,
und (natürliche Ranbedingungen) in den beiden Randpunkten sind die 2.Ableitungen =0.
Das gibt Dir einen Schwung Gleichungen, die Du nach dem Aufstellen lösen kannst.
LG Angela
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super, danke!
Ich habe das mal ausprobiert und nun tatsächlich ergebnisse:
[mm] s_{1}(x)=-\bruch{9\pi^{2}-2}{2\pi}x+\bruch{18\pi^{2}-4}{\pi^{3}}x^{3}
[/mm]
und
[mm] s_{2}(x)=-\bruch{99\pi+25\pi^{2}}{4}-1+\bruch{99\pi-4}{2\pi}x-54x^{2}+\bruch{18}{\pi}x^{3}
[/mm]
aber ich musste dafür fast 3 Seiten rechnen und das braucht auch ewigkeiten...
kann das stimmen?
gibt es da einen trick, durch den man das ganze verkürzen kann?
grüßle, Lily
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> super, danke!
> Ich habe das mal ausprobiert und nun tatsächlich
> ergebnisse:
>
> [mm]s_{1}(x)=-\bruch{9\pi^{2}-2}{2\pi}x+\bruch{18\pi^{2}-4}{\pi^{3}}x^{3}[/mm]
> und
>
> [mm]s_{2}(x)=-\bruch{99\pi+25\pi^{2}}{4}-1+\bruch{99\pi-4}{2\pi}x-54x^{2}+\bruch{18}{\pi}x^{3}[/mm]
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> aber ich musste dafür fast 3 Seiten rechnen und das
> braucht auch ewigkeiten...
> kann das stimmen?
> gibt es da einen trick, durch den man das ganze verkürzen
> kann?
Hallo,
ob man es geschickter machen kann, kann ich Dir nicht sagen, weil ich ja nicht sehe, was Du getan hast.
Im Grunde ist es, wenn man erstmal die Bedingungen aufgestellt hat, ja bloß ein LGS, welches gelöst werden muß.
Deine Lösung scheint mir falsch zu sein:
es muß doch [mm] s_1(0)=1 [/mm] sein, und das ist nicht der Fall.
Wenn Du eine Lösung hast, kannst Du ja eigentlich selbst nachrechnen, ob sie stimmt, ob also alle Bedingungen erfüllt sind.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 So 29.07.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
hm, hab mich wohl irgendwo verrechnet...
danke für deine hilfe! 
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