nicht Lebesque - int. Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit Hilfe des Aussschöpfungssatzes, dass die Funktion [mm] f(x) = \bruch{\sin(x) }{x} [/mm] über [mm] \left[ \pi , \infty \right) [/mm] nicht Lebesque - integrabel ist. |
Hallo alle zusammen!
So: Ich weiß, dass wenn das uneingentliche Integral (Riemann ) existiert, muss fie Funktion [mm] f: \mathbb R \to \mathbb R [/mm] nicht Lebesque - integrierbar sein, nämlich dann nicht, wenn [mm] | f (x) | nicht uneigentlich integrierbar ist...
Und bei der vorgegebenen Funktion ist dies der Fall!
Ich habe mir das skizziert und wenn ich das Bild von [mm] | f(x) | [/mm] beschreiben sollte, würde ich sagen, dass das so eine Art Halbkeise ( zumindest am Anfang, später verläuft das alles viel flacher ) sind... Der erst läuft von [mm] \pi [/mm] bis [mm] 2 \pi [/mm] , dann von [mm] 2 \pi [/mm] bis [mm] 3 \pi [/mm] ... und so weiter.. Sorry, aber irgendwie ist das schwer zu erklären.
Ich habe vor einiger Zeit dieselbe Aufgabe bereits versucht zu bearbeiten, und die ist nach Meinung der Korrektoren auch richtig... Aber bei meinem Ansatz vestehe ich nicht genau, wie ich auf eins der Gleichheitszecihen gekommen bin ( dazu später ) und ich habe nicht direkt diesen Ausschöpfungssatz benutzt...
Also jetzt zu meiner damaligen Lösung:
Idee: Ich konnte in jeden dieser Halbkreise ein Dreieck einschreiben . Und wenn ich später diese Dreiecke aufsummiert habe , kam ich durch geeignete Abschätzung auf die harmonische Reihe , deren Ergebnis [mm] \infty [/mm] ist Und somit zu Ziel!
Also. Jedes meine Dreiecke hatte eine Grundseite der Länge [mm] \pi [/mm] und die Höhe ist genau der Funktionswert an der Stelle [mm] ( n + \bruch{1}{2} ) \pi [/mm].
Somit ist
[mm] h = \left| \bruch{ \sin ( (n + \bruch{1}{2} ) \pi ) }{ (n + \bruch{1}{2} ) \pi } \right| = \left| \bruch{1}{(n + \bruch{1}{2} ) \pi ) } \right| = \bruch{1}{(n + \bruch{1}{2} ) \pi ) } = \bruch{2}{(2n + 1) \pi } [/mm]
Hier kommt meine 1. Frage:
Ich weiß nicht mehr, wie ich aus das 2. Gleichheitszechen gekommen bin... Speziell, warum ich jetzt auf einmal oben im Zähler eine 1 stehen haben ???
Wenn ich jetzt mit diesem h weiterrechne, dann gilt für den Flächeinhalt Dreiecks:
[mm] F (Dreieck ) = \bruch{1}{2} \cdot \pi \cdot
\bruch{2}{(2n + 1) \pi } = \bruch{1}{ 2n +1 ) } [/mm]
Nun kann ich die folgende Abschätzung machen:
[mm] \bruch{2}{2n+1} = \bruch{1}{ n+ \bruch{1}{2} } > \bruch{1}{n+1} [/mm]
Jetzt kommt die Reihe ins Spiel:
Es ist [mm] \summe_{n =1 }^\infty \bruch{1}{n+1} = \summe_{n = 2}^\infty \bruch{1}{n} \to \infty [/mm] ( harmonische Reihe )
Somit habe ich dann gezeigt, dass der Flächeninhalt dieser eingeschriebenen Dreiecke für [mm] n \to \infty [/mm] Unendlich groß wird und somit auch das Integral. Und somit ist es nicht Lebesque - integreirbar....
Und nun soll ich das zeigen mit HIlfe des Ausschöfungssatzes und da weiß ich leider nicht wirklich wie :-( .
Der Satz lautet folgendermaßen:
Sei [mm] M_n [/mm] eine aufsteigende Folge von meßbaren Mengen und auf [mm] M = \bigcup_{n=1}^\infty M_n [/mm] sei die Funktion f gegeben.
Dann sind äquivalent:
(i) f ist über M integrabel ( d.h. [mm] \chi_M f \in \mathcal L^1 [/mm] )
(ii) [mm] \forall n \in \mathbb N [/mm] ist f über [mm] M_n [/mm] integrabel
und [mm] \integral_{M_n} \| f \| d \mu [/mm] konvergiert.
Ist die der Fall, dann gilt:
[mm] \integral_{M} f = \limes_{n \to \infty } \integal_{M_n} f [/mm]
Ich hoffe jemand kann mir behilflich sein!
Danke!
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo,
> Zeigen Sie mit Hilfe des Aussschöpfungssatzes, dass die
> Funktion [mm]f(x) = \bruch{\sin(x) }{x}[/mm] über [mm]\left[ \pi , \infty \right)[/mm]
> nicht Lebesque - integrabel ist.
> Hallo alle zusammen!
>
...
> Also. Jedes meine Dreiecke hatte eine Grundseite der Länge [mm]\pi[/mm]
> und die Höhe ist genau der Funktionswert an der Stelle [mm]( n +
> \bruch{1}{2} ) \pi [/mm].
> Somit ist
[mm]h = \left| \bruch{ \sin ( (n + \bruch{1}{2} ) \pi ) }{ (n + \bruch{1}{2} ) \pi } \right| = \left| \bruch{1}{(n + \bruch{1}{2} ) \pi ) } \right| = \bruch{1}{(n + \bruch{1}{2} ) \pi ) } = \bruch{2}{(2n + 1) \pi }[/mm]
> Hier kommt meine 1. Frage:
> Ich weiß nicht mehr, wie ich aus das 2. Gleichheitszechen gekommen
> bin... Speziell, warum ich jetzt auf einmal oben im Zähler eine 1 stehen
> haben ???
eigentlich nicht so schwierig, weil
[mm] $\sin [/mm] ( (n + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ) [mm] \pi =\pm [/mm] 1$....
> Wenn ich jetzt mit diesem h weiterrechne, dann gilt für den Flächeinhalt Dreiecks:
> ...
Und nun soll ich das zeigen mit HIlfe des Ausschöfungssatzes und da weiß ich leider nicht wirklich wie :-( .
Der Satz lautet folgendermaßen:
Sei [mm]M_n[/mm] eine aufsteigende Folge von meßbaren Mengen und auf [mm]M = \bigcup_{n=1}^\infty M_n[/mm] sei die Funktion f gegeben.
Dann sind äquivalent:
(i) f ist über M integrabel ( d.h. [mm]\chi_M f \in \mathcal L^1[/mm] )
(ii) [mm]\forall n \in \mathbb N[/mm] ist f über [mm]M_n[/mm] integrabel
und [mm]\integral_{M_n} \| f \| d \mu[/mm] konvergiert.
> Ist die der Fall, dann gilt:
[mm]\integral_{M} f = \limes_{n \to \infty } \integal_{M_n} f[/mm]
Dieser ausschoepfungssatz sagt doch eigentlich nicht viel mehr aus als: eine funktion ist L-integrierbar gdw. ihr betrag uneigentlich integrierbar ist (kurz gesagt...). Das heisst, du kannst meiner meinung nach deine argumentation von oben genau so wieder verwenden.
Ich hoffe jemand kann mir behilflich sein!
Danke!
Viele Grüße
Irmchen
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Do 29.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Aber, wenn ich den Satz exakt anwenden soll, dann muss ist doch diese Mengen [mm] M_n [/mm] konstruieren, deren Vereinigung dann ein M ergibt... Diese Voraussetzung krieg ich irgendwie nicht hin...:-(. Oder ist das schon vielleicht meine Konstruktion mit den Dreiecken?
Viele Grüße
Irmchen
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Hi,
> Hallo!
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> Aber, wenn ich den Satz exakt anwenden soll, dann muss ist
> doch diese Mengen [mm]M_n[/mm] konstruieren, deren Vereinigung dann
> ein M ergibt... Diese Voraussetzung krieg ich irgendwie
> nicht hin...:-(. Oder ist das schon vielleicht meine
> Konstruktion mit den Dreiecken?
>
M ist doch das intervall [mm] $[\pi,\infty)$. [/mm] Also kannst du waehlen [mm] $M_n=[\pi,n\pi]$.
[/mm]
gruss
matthias
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