nicht ausgeartet < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Do 04.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hallo an alle,
ich bereite mich momentan auf eine LinA Prüfung vor und gehe ein paar Prüfungsprotokolle durch. Dabei ist einmal die Frage, ob es eine Bilinearform über einem endlichen Körper gibt, die nicht ausgeartet ist und bei der ein Vektor ungleich dem Nullvektor auf sich selbst senkrecht steht.
Meine Antwort wäre nein, denn die Definition von nicht ausgeartet sagt doch gerade, daß dann eben nur dieser Nullvektor auf sich selbst senkrecht steht, oder?
Eine Bilinearform über einem endlichen Körper wäre doch z.B. die Gramsche Matrix (Darstellungsmatrix der Bilinearform) oder? Die wäre doch z.B. nicht ausgeartet oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Do 04.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Britta!
Ich verstehe gerade den Witz der Frage nicht (zum Beispiel, warum sich die Frage auf endliche Körper bezieht).
Ich kann doch zum Beispiel auf [mm] $\IF_2^2$ [/mm] definieren:
[mm] $\phi \left( \pmat{1 \\ 0} , \pmat{1 \\ 0} \right) [/mm] :=0$,
[mm] $\phi \left( \pmat{1 \\ 0} , \pmat{0 \\ 1} \right) [/mm] :=1$,
[mm] $\phi \left( \pmat{0 \\ 1} , \pmat{1 \\ 0} \right) [/mm] :=1$,
[mm] $\phi \left( \pmat{0 \\ 1} , \pmat{0 \\ 1} \right) [/mm] :=1$,
und dann [mm] $\phi$ [/mm] bilinear fortsetzen.
Anders gesagt: Ich kann doch die durch die Gramsche Matrix
[mm] $\pmat{0 & 1 \\ 1 & 1}$
[/mm]
(bezüglich der Standardbasis auf [mm] $\IF_2^2$ [/mm] induzierte) Bilinearform [mm] $\phi$ [/mm] auf [mm] $\IF_2^2$ [/mm] betrachten.
Dann ist [mm] $\phi$ [/mm] nicht ausgeartet, denn zu jedem der drei vom Nullvektor verschiedenen Vektoren gibt es jeweils einen Vektor aus [mm] $\IF_2^2$, [/mm] auf dem er jeweils nicht senkrecht steht (für [mm] $\pmat{1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $\pmat{0 \\ 1}$ [/mm] sieht man das oben; weiterhin gilt: [mm] $\phi \left( \pmat{1 \\ 1}, \pmat{1 \\ 0} \right) [/mm] = [mm] \phi \left( \pmat{1 \\ 0}, \pmat{1 \\ 0} \right) [/mm] + [mm] \phi \left( \pmat{0 \\ 1}, \pmat{1 \\ 0} \right) [/mm] =0+1=1 [mm] \ne [/mm] 0$).
Andererseits steht aber der Vektor [mm] $\pmat{1 \\ 0}$ [/mm] auf sich selber senkrecht.
> Meine Antwort wäre nein, denn die Definition von nicht
> ausgeartet sagt doch gerade, daß dann eben nur dieser
> Nullvektor auf sich selbst senkrecht steht, oder?
Nein. Dies sagt, dass nur der Nullvektor auf allen anderen Vektoren senkrecht steht.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Fr 05.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
hi,
danke Stefan,
hatte nicht ausgeartet irgendwie missverstanden, also nicht ausgeartet bedeutet, daß der Nullvektor auf allen vektoren senkrecht steht, aber andere können natürlich auch senkrecht stehen. richtig?
Ich habe jedoch in meiner Definition stehen
phi nicht ausgeartet [mm] \gdw [/mm] v [mm] \perp [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] v= 0
heißt das nicht gerade, daß wenn v auf sich selbst senkrecht steht v nur nur der NV sein kann?
Bin verwirrt,
nochmals Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Fr 05.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Britta!
Nun ja:
$v [mm] \perp [/mm] V$ bedeutet nicht (nur): [mm] $\phi(v,v)=0$, [/mm] sondern
$v [mm] \perp [/mm] V$ bedeutet: $v [mm] \perp [/mm] w$ für alle $w [mm] \in [/mm] V$, also:
[mm] $\phi(v,w)=0$ [/mm] für alle $w [mm] \in [/mm] V$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Fr 05.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hallo Stefan,
vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Ich wünsch dir ein schönes Wochenende
Britta
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