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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Fr 13.02.2015 | | Autor: | Picard |
Hallo,
es geht um den Beweis einer Proposition.
Prop: Sei [mm] \beta [/mm] eine Bilinearform auf einem endlichdimensionalen [mm] \IK-Vektorraum [/mm] V. Sei [mm] B=(v_{1},...,v_{n}) [/mm] eine Basis von V, und sei
[mm] M_{b}(\beta) [/mm] = A die Matrixdarstellung von [mm] \beta [/mm] bzgl. B. Folgende Aussagen sind äquivalent:
1. [mm] \beta [/mm] ist nicht ausgeartet
2. Rg(A)=n
Beweis:
[mm] \Rightarrow [/mm]
Ok diese Beweisrichtung habe ich verstanden
[mm] \Leftarrow
[/mm]
ok hier gibts Probleme:
Sei Rg(A)=n. Sei [mm] v=\summe_{i=1}^{n} b_{i} v_{i} \in [/mm] V, sodass [mm] \beta(v,w)=0 [/mm] für alle w [mm] \in [/mm] V. Dann gilt insbesondere [mm] b^{T}Ae_{i}=0 [/mm] für alle Standardbasisvektoren [mm] e_{1},...,e_{n}. [/mm] Indem wir die Standardbasisvektoren zu einer Matrix zusammenfassen, folgt [mm] b^{T}AI_{n}=b^{T}A=(0...0). [/mm] Somit gilt
[mm] 0=Rg((0...0))=Rg(b^{T}A)=Rg(b^{t}).
[/mm]
Es folgt [mm] b^{t}=(0...0), [/mm] also v=0. Dies beweist Bedingung 1. der Definition (Definition für nicht ausgeartete Bilinearformen) und analog wird 2. der Definition gezeigt.
Warum gilt [mm] b^{T}Ae_{i}=0? [/mm] Woher weiß man, dass der Ausdruck gleich null ist? Vielleicht versteh ich dann auch den Rest des Beweises.
Danke für eure Untersützung.
Picard
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> es geht um den Beweis einer Proposition.
>
> Prop: Sei [mm]\beta[/mm] eine Bilinearform auf einem
> endlichdimensionalen [mm]\IK-Vektorraum[/mm] V. Sei
> [mm]B=(v_{1},...,v_{n})[/mm] eine Basis von V, und sei
> [mm]M_{b}(\beta)[/mm] = A die Matrixdarstellung von [mm]\beta[/mm] bzgl. B.
Hallo,
wir sollten bereits an dieser Stelle einhaken und überlegen, was es bedeutet, daß A die Darstellungsmatrix der Bilinearform [mm] \beta [/mm] bzgl. der Basis B ist.
Wenn ich zwei Vektoren [mm] x,y\in [/mm] V habe, kann ich sie schreiben als
[mm] x=\summe_{i=1}^{n} x_{i} v_{i},
[/mm]
[mm] y=\summe_{i=1}^{n} y_{i} v_{i},
[/mm]
[mm] x_i, y_i\in [/mm] K,
ihre Koordinatenvektoren bzgl B sind [mm] x_B=\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}, y_B=\vektor{y_1\\...\\y_n}.
[/mm]
Was ist nun [mm] \beta(x,y)?
[/mm]
Es ist
[mm] \beta(x,y)=\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}^TA\vektor{y_1\\...\\y_n}.
[/mm]
Das solltest Du im Auge behalten, ebenso, daß [mm] (v_i)_B=e_i.
[/mm]
> Folgende Aussagen sind äquivalent:
>
> 1. [mm]\beta[/mm] ist nicht ausgeartet
> 2. Rg(A)=n
>
>
> Beweis:
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Ok diese Beweisrichtung habe ich verstanden
>
> [mm]\Leftarrow[/mm]
> ok hier gibts Probleme:
> Sei Rg(A)=n.
Angenommen, es gibt einen Vektor [mm] v\in [/mm] V, so daß für alle [mm] w\in [/mm] V gilt: [mm] \beta(v,w)=0.
[/mm]
((Ziel: wir zeigen, daß v nur der Nullvektor sein kann.))
Sei [mm]v=\summe_{i=1}^{n} b_{i} v_{i} \in[/mm] V,
> sodass [mm]\beta(v,w)=0[/mm] für alle w [mm]\in[/mm] V. Dann gilt
> insbesondere
[mm] \beta(v,v_i)=0 [/mm] für alle Basisvektoren [mm] v_1,...,v_n,
[/mm]
also gilt
> [mm]b^{T}Ae_{i}=0[/mm] für alle Standardbasisvektoren
> [mm]e_{1},...,e_{n}.[/mm]
> Indem wir die Standardbasisvektoren zu
> einer Matrix zusammenfassen, folgt
> [mm]b^{T}AI_{n}=b^{T}A=(0...0).[/mm] Somit gilt
> [mm]0=Rg((0...0))=Rg(b^{T}A)=Rg(b^{t}).[/mm]
> Es folgt [mm]b^{t}=(0...0),[/mm] also v=0. Dies beweist Bedingung
> 1. der Definition (Definition für nicht ausgeartete
> Bilinearformen) und analog wird 2. der Definition gezeigt.
Alles klar jetzt?
LG Angela
>
> Warum gilt [mm]b^{T}Ae_{i}=0?[/mm] Woher weiß man, dass der
> Ausdruck gleich null ist? Vielleicht versteh ich dann auch
> den Rest des Beweises.
>
> Danke für eure Untersützung.
>
> Picard
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:32 Sa 14.02.2015 | | Autor: | Picard |
Hallo Angela,
ja jetzt ist es klar. Mir hat der Zwischenschritt [mm] "...\beta(v,v_{i})=0 [/mm] für alle ..." gefehlt.
Danke für die verständliche Erklärung.
Gruß & Schönes WE
Picard
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