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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie: $\integral_{-2\pi}^{2\pi}{\bruch{dx}{2sin(x)-cos(x)+5}}$
b) Lösen sie das Anfangswertproblem: $y'=cos^2y-1$, $y(\pi})=2\pi$ |
Hallo zusammen,
zur a):
Hier seh ich keinen Weg um die tan\bruch{x}{2}-Substitution herumzukommen:
\integral_{-2\pi}^{2\pi}{\bruch{dx}{2sin(x)-cos(x)+5}}=2\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{dx}{2sin(x)-cos(x)+5}}
u=tan\bruch{x}{2}
2\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{dx}{2sin(x)-cos(x)+5}}=2\integral_{-}^{}{\bruch{2*du}{1+u^2}*\bruch{1}{\bruch{4u-1+u^2}{1+u^2}+5}}
= 2\integral_{}^{}{\bruch{du}{3u^2+2u+2}} = \bruch{2}{3}\integral_{}^{}{\bruch{du}{(u+\bruch{1}{3})^2+\bruch{5}{9}}}=\bruch{6}{5}\integral_{}^{}{\bruch{du}{(\bruch{3}{\wurzel{5}}u+\bruch{\wurzel{5}}{3})^2+1}}
= \bruch{6}{5} arctan(\bruch{3}{\wurzel{5}}u+\bruch{1}{\wurzel{5}}) \bruch{\wurzel{5}}{3}
Resubstitution:
= \bruch{2}{\wurzel{5}} arctan(\bruch{3}{\wurzel{5}}tan\bruch{x}{2}+\bruch{1}{\wurzel{5}}) |_{-\pi}^{\pi}
Jetzt hab ich das Problem, dass tan\bruch{\pi}{2} nicht definiert ist.
Ich habe schon versucht, das Integral an allen kritischen Stellen zu teilen, aber das hilft auch nicht.
Und wenn ich die 2 im Zähler davor wieder Rückgängig mache, indem ich von -2\pi bis 2\pi integriere, dann kann ich zwar die Grenzen substituieren zu 0 und 0, aber wenn ich dann z.b. bei \bruch{\pi}{2} teile, damit ich von 0 bis 1 und von 1 bis 0 integrieren kann, hebt sich bei mir alles weg, und Null bleibt übrig.
Wo liegt denn der Fehler hier?
zur b)
$y'=cos^2y-1$, $y(\pi)=2\pi$, trennbare Variablen, also eig nicht so schwer:
\integral_{}^{}{\bruch{dy}{cos^2-1}}=x+c
\gdw x+c=-\integral_{}^{}{\bruch{dy}{1-cos^2}}=-\integral_{}^{}{\bruch{dy}{sin^2}}=-cot(y)
\gdw y=arccot(-x-c)
Jetzt setzte ich in x+c=-cot(y) mein AWP ein, aber cot(\pi)=\bruch{cos(\pi)}{sin(\pi)} nicht definiert, bzw \infty.
Was muss ich denn anders machen?
Ich bedank mich schon mal im Voraus!
lg Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Fr 24.04.2009 | | Autor: | konvex |
Hallo,
Hast dus mal bei (a) mit Partialbruchzerlegung probiert?
Und bei (b) kannst dus au ma mit der Ansatzmethode versuchen...
lg
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Ich kenne die "Ansatzmethode" nicht... Was muss ich denn da machen?
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 27.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich erhalte komplexe Eigenwerte, wie soll denn da eine Partialbruchzerlegung funktionieren?
Ich habe 2 Gleichungen, aber 4 unbekannte, da stimmt doch iwas nicht...
Und außerdem ist doch eine Stammfunktion, bis auf die konstante c eindeutig bestimmt, oder nicht?
Ich komme auf die Nullstellen [mm] u_{1/2}=\bruch{-1\pm\wurzel{5}i}{3} [/mm] für die Funktion [mm] f(u)=3u^3+2u+2.
[/mm]
lg Kai
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Hallo, bei dir hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen
du hast substituieert: [mm] u=tan(\bruch{x}{2})
[/mm]
[mm] sin(x)=\bruch{2*tan(\bruch{x}{2})}{1+tan^{2}(\bruch{x}{2})}=\bruch{2u}{1+u^{2}}
[/mm]
[mm] cos(x)=\bruch{1-tan^{2}(\bruch{x}{2})}{1+tan^{2}(\bruch{x}{2})}=\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}
[/mm]
betrachte ich jetzt nur den Nenner:
2*sin(x)-cos(x)+5
[mm] =\bruch{4u}{1+u^{2}}-\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}+5
[/mm]
[mm] =\bruch{4u-(1-u^{2})}{1+u^{2}}+5
[/mm]
[mm] =\bruch{4u-1+u^{2}}{1+u^{2}}+5
[/mm]
es lautet [mm] +u^{2}, [/mm] dieser Fehler zieht sich dann durch die weitere Aufgabe
du solltest auf [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}arctan(\bruch{3*tan(\bruch{x}{2})+1}{\wurzel{5}}) [/mm] kommen
Steffi
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Ich habe doch das gleiche Ergebnis auch raus!
Das war zwischendurch wahrscheinlich nur ein Tippfehler...
Mein Problem ist ehr, das ist bei deinem Ergebnis genauso, dass wenn ich jetzt die Integrationsgrenzen einsetzte, diese gar nicht definiert sind. Aber auch wenn ich die 2 ganz am Anfang nicht aus den Grenzen herausziehe, komme ich auf 0 bei beiden Intervallgrenzen, das wäre ja auch nicht so schlimm, wenn diese Funktion nicht überall positiv wäre.
Wo ist denn der Fehler?
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 27.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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