nicht stetig diffbare fkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Do 10.04.2008 | | Autor: | AriR |
hey leute
ich hab irgendwie probleme mir eine stetige funktion vorzustellen, deren ableitung "sprünge" hat und somit nicht stetig ist. hat jemand von euch ein anschauliches bsp für eine funktion die stetig ist aber nicht stetig diffbar in der form, dass die ableitung sprünge hat? vllt wird es dann deutlicher..
gruß ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Do 10.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Würde dir f(x)=|x| reichen? Die Ableitung springt von -1 zu 1, bei 0 ist sie nicht definiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Do 10.04.2008 | | Autor: | AriR |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Do 10.04.2008 | | Autor: | AriR |
daran hab ich auch gedacht.. kann es denn funktionen geben die diffbar sind und deren ableitung sone sprungstelle hat oder muss man da immer diffbare teile der funktion nehmen und dort wo ein problem auftaucht selbst einen wert definieren wie in deinem bsp bei 0. wenn man die ableitung "problemlos" bilden kann, dann müsste diese doch eigentlich immer stetig sein, wenn die funktion selbst es ist oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Die Funktion selbst kann stetig sein, aber beispielsweise Knicke aufweisen (Dreieckskurve). In diesem Fall ist die Funktion nicht stetig differenzierbar.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 12.04.2008 | | Autor: | AriR |
ja genau .. und an diesen knicken ist ableitung nicht diffbar oder ? gibts auch andere "phänomene" als knicke, die die fkt aufweisen kann?
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> ja genau .. und an diesen knicken ist ableitung nicht
> diffbar oder ? gibts auch andere "phänomene" als knicke,
> die die fkt aufweisen kann?
Hallo,
ein Knick macht, daß die Funktion an dieser Stelle nicht diffbar ist, also ist die Funktion als solche nicht diffbar. Da sie nicht diffbar ist, erübrigt sich das Nachdenken darüber, ob die Ableitung stetig ist oder nicht.
Schauen wir nun die Funktion f(x)=|x| auf [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] an.
Diese Funktion ist differenzierbar, es ist [mm] f'(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \\ -1, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Diese Funktion ist stetig, falls Du Zweifel hast, zeige es mit dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium.
Also ist f(x)=|x| auf [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] stetig diffbar.
Das Standardbeispiel einer Funktion, die überall diffbar ist, deren Ableitung aber nicht stetig ist, hat Dir subclasser bereits geliefert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 14.04.2008 | | Autor: | AriR |
demnach ist die fkt doch stetig diffbar oder nicht? die frage war eher nach ner funktion, die NICHT stetig diffbar ist.. wie sieht so eine funktion aus und wie ihre ableitung anhand eines bsp... hast du da vllt noch was zu, das wäre super... :)
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> demnach ist die fkt doch stetig diffbar oder nicht? die
> frage war eher nach ner funktion, die NICHT stetig diffbar
> ist.. wie sieht so eine funktion aus und wie ihre ableitung
> anhand eines bsp... hast du da vllt noch was zu, das wäre
> super... :)
Hallo,
ich zitiere mich selbst:
>>> Das Standardbeispiel einer Funktion, die überall diffbar ist,
>>> deren Ableitung aber nicht stetig ist,
>>> hat Dir subclasser bereits geliefert.
Hast Du das schon durchgearbeitet?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Di 15.04.2008 | | Autor: | AriR |
die fkt ist so unanschaulich.. gibts keine "bessere" an der man sich das geometrisch etwas besser veranschaulichen kann?
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> die fkt ist so unanschaulich.. gibts keine "bessere" an der
> man sich das geometrisch etwas besser veranschaulichen
> kann?
Hallo,
ob es eine bessere gibt, liegt auch mit in den Augen des Betrachters.
Eine, die anschaulicher ist, wirst Du nicht finden, fürchte ich.
Immerhin bekommt man doch beim Plot noch einen gewissen Eindruck davon, was passiert und wo das Problem liegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 15.04.2008 | | Autor: | AriR |
irgendwie sehe ich das noch nicht so genau :( kannst du mir vllt einen hinweis geben auf welche grafische komponente ich da achten sollte? normal müsste bei der ggb funktion ja bei 0 irgendwo wie gesagt ein knick entstehen aber kann nichts dergleichen erkennen....
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> irgendwie sehe ich das noch nicht so genau :( kannst du mir
> vllt einen hinweis geben auf welche grafische komponente
> ich da achten sollte? normal müsste bei der ggb funktion ja
> bei 0 irgendwo wie gesagt ein knick entstehen aber kann
> nichts dergleichen erkennen....
Hallo,
nein, das hast Du falsch verstanden: da, wo Knicke sind, sind Funktionen nicht differenzierbar.
Das besondere an der vorgestellten Funktion ist gerade, daß sie ausnahmslos an allen Stellen differenzierbar ist und eine unstetige Ableitung hat.
Ich werde Dir gleich versuchen zu zeigen, wie Du das, was es zu sehen gibt, ansatzweise im Bild sehen kannst, möchte aber zuvor betonen, daß kein Weg daran vorbeiführt, sich mit der Sache auf rechnerischem Wege auseinanderzusetzen.
Die Funktion ist komplett differenzierbar: Du siehst im Graphen, daß sie völlig ohne Sprünge und Knicke verläuft.
Insbesondere ist sie stetig an der Stelle 0, welche ja bzgl Stetigkeit die einzige kritische Stelle wäre. Vielleicht kannst Du Dir selbst mal einen Plot machen, in welchem Du den Bereich um die 0 unter die Lupe nehmen kannst.
Die Differenzierbarkeit im Punkt 0 kann man der Funktion nicht recht ansehen, aber daß die Funktion im Punkt 0 diffbar ist, kann man ausrechen mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten.
Außerhalb der 0 braucht man ja einfach nur wei gewohnt abzuleiten.
Schaust Du Dir die Ableitung an, so siehst Du, daß diese sich um die 0 herum ziemlich wild gebärdet, was man mit einem flüchtigen Blick auf den Plot der Ausgangsfunktion vielleicht gar nicht vermutet.
Nun ist die Frage: was macht die Ableitung an der Stelle 0? Ist der Graph "ein Seil, welches in der 0 verankert" ist? Oder "hat es neben der 0 freie Enden und peitscht dort wild auf und ab"?
Letzteres muß man rechnerisch entscheiden. Du kannst ausrechnen, daß die Ableitung gegen 0 keinen Grenzwert hat.
Gruß v. Angela
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http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Beispiel_f.C3.BCr_eine_nicht_.C3.BCberall_stetig_differenzierbare_Funktion